Преобразование случайных сигналов в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях (стр. 2 из 2)
, 0 k N1где N1 – число отсчетов корреляционной функции и энергетического спектра (на 1 2 порядка меньше числа отсчетов сигнала N);
Т – интервал дискретизации сигнала.
= 2Пf =
- шаг отсчета по частоте.Корреляционная функция Rх(t) и энергетический спектр Wx(f) исходного сигнала изображены на рисунках (см. ниже). Это широкополосный сигнал. Т = 0.0004с; N1 = 10;
По графику корреляции видно что исследуется широкополосный сигнал, его интервал корреляции:
Энергетическая ширина спектра
4. Найдем P(x) для равномерного закона распределения
Xmin = -2,525 Xmax = 0,042
Если во всей области изменения переменной Х связь отклика Y с воздействием Х, обусловленная видом характеристики y = f(x) нелинейного элемента, однозначна, то плотность вероятности распределения мгновенных значений P(y) по известной P(x) можно найти
где
преобразованная зависимость y = f(x).Если нелинейность такова, что какому-то значению y = y1 отвечает конечное множество значений
, 
, … , то
+ 
+ …Если линейность такова, что есть значения Y, которым в силу характеристики y = f(x) отвечает бесконечное число значений Х, то применяют следующее правило
[-2,525; 0,042] 
[0, 3] P(x) = 0,39У нас нелинейность вида
Y =
В результате преобразования случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи мы получили новый сигнал Y(n).
Для него m1YN0 = 0,5132 1YN0 = 0,5323 Гистограмма изображена на рисунке, ее огибающая схожа с графиком теоретически построенной функции P(y) следовательно, теоретические расчеты совпадают с практическим преобразованием.
Корреляционная функция Ry(t) и энергетический спектр случайного сигнала Wy(f) представлены на рисунках, приведенных ниже:
Интервал корреляции:
Энергетическая ширина спектра:
В результате преобразования случайного процесса X(n) в безынерционной нелинейной цепи случайный сигнал перестал быть равномерным. Математическое ожидание увеличилось и стало больше нуля. Среднеквадратичное отклонение уменьшилось примерно в 1,5 раза. Сигнал остался широкополосным.
6. В общем случае точно установить взаимосвязь закона распределения воздействия с законом распределения отклика линейной цепи и ее частотной характеристикой очень сложно. Но если протяженность во времени импульсной характеристики цепи такова, что хотя бы в несколько раз превышает к входного случайного процесса, или полоса пропускания цепи в частотной области хотя бы в несколько раз меньше ширины энергетического спектра входного процесса, то при любом законе распределения P(х) входного процесса, случайный процесс на выходе линейной цепи будет иметь распределение, близкое к нормальному.
В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной цепи (ПФ, f0 = 500 Гц, Q = 3) мы получили новый сигнал Z(n).
Для него m1ZN0 = 0,0018 1ZN0 = 0,1679
Определим по гистограмме с помощью критерия 2 произошла ли нормализация случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи
где nk – число отсчетов сигнала, попавший в k – интервал.
- теоретическая вероятность пребывания случайного сигнала в пределах каждого из интервалов X, N - общее число исследуемых отсчетов сигнала Ni = 10
P
=Ф(-1,8)-Ф(-2,21)= - 0,92814+0,97289=0,045Р
=Ф(-1,38)+Ф(1,8)=-0,83241+0,92814=0,096Р
=-Ф(0,96)+Ф(1,38)= -0,66294+0,83241=0,1694Р
=-Ф(0,55)+Ф(0,96)= -0,41768+0,66294=0,24526Р
=-Ф(0,13)+Ф(0,55)=-0,10348+0,41768=0,3142Р
=Ф(0,29)+Ф(0,13)=0,22818+0,10348=0,33166Р
=Ф(0,7)-Ф(0,29)=0,51608-0,22818=0,28789Р
=Ф(1,12)-Ф(0,7)=0,73729-0,51607=0,22122Р9=Ф(1,54)-Ф(1,12)=0,87644-0,73729=0,13915
Р10=Ф(1,95)-Ф(1,54)=0,94882-0,87644=0,07
| K | Pk | nk |  |
| 1 | 0,045 | 3 | 4,9 |
| 2 | 0,0096 | 5 | 2,5 |
| 3 | 0,1694 | 10 | 0 |
| 4 | 0,24526 | 18 | 6,4 |
| 5 | 0,3142 | 11 | 0,1 |
| 6 | 0,33166 | 12 | 0,4 |
| 7 | 0,28789 | 13 | 0,9 |
| 8 | 0,22122 | 13 | 0,9 |
| 9 | 0,13915 | 8 | 0,4 |
| 10 | 0,07 | 7 | 0,9 |
2 =17,4 Нормализация Р случайного процесса Y(n) в результате его фильтрации в линейной цепи не происходит.
Графики корреляционной функции и энергетического спектра представлены ниже:
Интервал корреляции:
Энергетическая ширина спектра:
В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной линейной цепи случайный сигнал становится близким к нормальному. К этому заключению приходим из того, что полоса пропускания цепи в частотной области почти в 2 раза меньше ширины энергетического спектра входного процесса. Математическое ожидание стало равно 0, 0018, а среднеквадратическое отклонение уменьшилось до 0,1679. Сигнал стал узкополосным – это произошло из-за частотной характеристики К() линейной цепи – ПФ.
Выводы
1. При взятой длине реализации N = 100, 2 является наименьшим из всех рассмотренных N. Математическое ожидание отличается на 9% от заданного, а среднеквадратическое отклонение на 1%
2. По виду корреляционной функции и энергетическому спектру заключаем, что сигнал широкополосный.
3. В результате преобразования случайного процесса X(n) в безинерционной нелинейной цепи, случайный сигнал перестал быть равномерным. Математическое ожидание увеличилось и стало больше 0, среднеквадратичное отклонение уменьшилось примерно в 1,5 раза. Сигнал остался широкополосным, к и fэ остались прежними.
4. В результате фильтрации случайного процесса Y(n) в инерционной цепи нормализация не произошла. Математическое ожидание стало равным 0,0018, а среднеквадратическое отклонение 0,1679. Сигнал стал узкополосным, энергетическая ширина спектра составила
, а 
Литература
1) Козлов В.А. Преобразование случайных сигналов в безынерционных нелинейных и инерционных линейных цепях. Казань, КГТУ им. А.Н. Туполева, 2001 г.
2) Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М, Советское радио. 1977 г.