Разработка и исследование системы автоматического регулирования температуры электропечи на базе промышленного регулятора Р-111 (стр. 2 из 4)

Усиленный сигнал, с выхода У-252, в виде напряжения подаётся в цепи нагрева электропечи.

2 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

2.1 Методы математического описания объектов управления

Для построения высокоэффективной системы управления необходимо иметь описание объекта управления в виде математической модели. Для описания объектов управления, в которых отсутствует зависимость переменных состояния, управления от пространственных координат (линейные многомерные системы с сосредоточенными параметрами), используются системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений или соответствующие изображения по Лапласу. Рассмотрим многомерную линейную систему с m - управлениями, l - возмущениями и k - входами. Модель линейной системы с сосредоточенными параметрами во временной области:

(2.1)

где х(t) – вектор состояния системы,

;

u(t) – вектор управлений (входов),

;

у(t) – вектор выходов,

;

f(t) – вектор возмущений,

;

А – матрица размерности nxn;

В – матрица размерности nxm;

D – матрица размерности nxl;

С – матрица размерности kxn.

Применяя преобразование Лапласа к системе, получим эквивалентную модель в комплексной области:

(2.2)

или

(2.3)

Частотное или временное представления выбираются из соображений удобства, так как в случае постоянных матриц A, B,C и D они эквивалентны. Для построения подобных моделей можно использовать два пути: применять фундаментальные физические соотношения в виде законов сохранения вещества, энергии или восстанавливать параметры моделей по эмпирическим данным, причем второй путь более часто применяется на практике.

2.2 Экспериментальные данные

Для построения математической модели объекта управления использовался метод восстановления параметров модели по эмпирическим данным. Для этого с помощью лабораторной установки были получены экспериментальные данные для исследования объекта управления и построения его математической модели. Результаты снятия экспериментального переходного процесса приведены в Приложении А.

Нормирование переходных процессов проводилось в MathCAD-е по следующему соотношению:

(2.4)

Рисунок 2.1 – Экспериментальный нормированный переходной процесс

Так динамика этих процессов совпадает, то можно для улучшения экспериментальных данных усреднить два процесса, и для усреднённого процесса искать аппроксимирующую модель объекта управления. Усредненный переходный процесс изображён на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Усредненный переходный процесс

Структура аппроксимирующего выражения для передаточной функции объекта может быть выбрана в общем случае в виде:

(2.5)

Коэффициент усиления объекта управления

можно найти по статической характеристике. Постоянные времени передаточной функции могут быть найдены по реакции системы на единичный скачок, т.е. по полученному усреднённому переходному процессу.

2.3 Построение статической характеристики

Коэффициент усиления объекта управления можно найти по его статической характеристике. В результате различных экспериментов были получены следующие результаты приведенные в таблице 1:

Таблица 1:

I, мА	0	0.2	0.25	0.3	0.35	0.4	0.45	0.5	0.55	0.6	0.65	0.7
T, °C	2	13	41	79	117	158	200	239	280	319	355	390

В результате статическая характеристика имеет вид, приведённый на рисунке 2.3:

Рисунок 2.3 – Статическая характеристика

Коэффициент усиления объекта управления определяется из соотношения:

(2.6)

2.4 Посторонние математической модели первого порядка

При q=0 получаем математическую модель первого порядка с запаздыванием:

(2.7)

Коэффициент усиления для нормированного переходного процесса равен единице. Постоянную времени можно найти из соотношения:

(2.8)

(2.9)

(2.10)

То есть для нахождения постоянной времени нужно провести прямую на уровне 0.63 до пересечения с графиком переходного процесса. Так как экспериментальный переходный процесс не является процессом первого порядка, то для его описания необходимо ввести запаздывание t=61.

Рисунок 2.4 – Усредненный переходный процесс

(2.11)

(2.12)

(2.13)

2.5 Посторонние математической модели методом площадей

При q=1 и t=0 получаем объект второго порядка. Рассчитать постоянные времени T1 и T2 можно при помощи метода площадей:

(2.14)

Построим математическую модель системы при помощи метода площадей:

Так как

меньше чем 0.75, то метод площадей применять нельзя, применим упрощенный метод площадей. Упрощённый метод площадей:

Абсцисса точки перегиба равна:

;

Коэффициент усиления:

.

(2.15)

Рассчитаем значения постоянных времени:

.

2.6 Построение математической модели методом Ротача

Проведем в точке перегиба касательную, для определения интервала времени Т0, заключенного между точками пересечения этой касательной оси абсцисс и линии установившегося значения h(∞) переходной характеристики. В рассматриваемом случае: T0=440, tп=150, h(tп)=0,181. Введем обозначение:

(q=1).

Возьмем запаздывание t=0, тогда получаем следующую модель:

(2.16)

Для нахождения T0 проводим касательную через точку перегиба и находим точки её пересечения с уровнями 0 и 1.

Применим алгоритм метода Ротача для звена 2-го порядка, т.е. q=1 t=61: