Разработка программного обеспечения для голосового управления трехмерными моделями функционирования промышленных роботов (стр. 3 из 17)
(1.19)которую называют прямоугольным окном. Тогда можно записать
(1.20)Преобразование Фурье последовательности х[nТ0] равно свертке преобразований Фурье последовательности х0 [nТ0] и прямоугольного окна w[nТ0]
(1.21)
Рисунок 1.2 – Размывание спектра: (а – исходная бесконечная последовательность; б – модуль преобразования Фурье от х0 [nТ0]; в - последовательность х0 [nТ0], умноженная на прямоугольное окно; г - модуль преобразования Фурье последовательности х[nТ0])
При выборе оконных функций используются следующие параметры: ширина основного лепестка, максимальный уровень боковых лепестков, скорость спадания уровня боковых лепестков [6,7,10].
Здесь ширина основного лепестка определена на уровне 3 дБ ниже его максимума и измерена в единицах разрешения преобразования Фурье, т.е. 2π/N, где N - длина окна.
Для повышения состоятельности оценки (1.18) выполняют её сглаживание. Имеется несколько методов сглаживания: Даньелла, Бартлетта, Уэлча [6,7].
Метод Даньелла основан на осреднении значений СПМ в пределах смежных спектральных частот.
В соответствии с методом Бартлетта состоятельность оценки СПМ повышают усреднением оценок СПМ коротких реализаций, полученных из
одной реализации длиной N отсчетов. Пусть дана реализация длиной N отсчетов. Она разбивается на ns неперекрывающихся сегментов, длиной Ns=N/s отсчетов. Для каждого сегмента по формуле (1.18) вычисляется выборочная оценка СПМ. Сглаженная оценка СПМ получается путем усреднения по всем n, сегментам
(1.30)Если последовательность х[n] представляет нормальный стационарный эргодический процесс, то сглаженная оценка имеет дисперсию обратно пропорциональную числу сегментов n.
Спектральное разрешение оценки задается приближенным равенством
(1.31)В методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся сигментам исходной последовательности х[n], и каждый сегмент взвешивается с помощью оконной функции для уменьшения смещения оценок из-за эффекта «просачивания» энергии в боковые лепестки. Цель перекрытия сегментов - увеличить число усредняемых участков при фиксированной длине последовательности и тем самым повысить точность оценок СПМ. Метод Уэлча - один из самых распространенных периодограммных методов [6,7].
Обозначим через
величину сдвига между сегментами, которая должна удовлетворять условию 
, где 
- максимальное имя корреляции анализируемого процесса. При выполнении этого условия получим p=int[(N-Ns)/ +l]слабо коррелированных сегментов. Отсчеты каждого сегмента взвешиваются окном w[n] 
(1.32)Выборочное значение СПМ сегмента р оценивается по формуле
(1.33)где
(1.34) 
(1.35)Сглаженная оценка периодограммы Уэлча вычисляется по формуле
(1.36)Введение перекрытия сегментов в методе Уэлча позволяет уменьшить изменчивость оценки СПМ, Так же как и в методе Бартлетта, дисперсия оценки СПМ по методу Уэлча обратно пропорциональна числу сегментов, но благодаря большему числу сегментов, значение дисперсии будет меньше.
1.2 Основы цифровой фильтрации
Цифровой фильтр представляет собой систему с постоянными параметрами (инвариантную к сдвигу), работающую в дискретном времени. Напомним, что для таких систем сигнал на входе и выходе связан дискретной сверткой (1.5). Соответствующее соотношение между z-преобразованиями имеет вид
(1.37)Прямое z-преобразование отклика на единичный импульс H(z)называется передаточной функцией системы. Преобразование Фурье отклика на единичный импульс
называется частотной характеристикой. Обычно 
представляет собой комплексную функцию со, которую можно записать в виде 
(1.38)или через модуль и фазу
(1.39)Инвариантная к сдвигу линейная система называется физически реализуемой, если h(n)=0 при n<0. Линейная система устойчива, если для любой ограниченной по уровню входной последовательности выходная последовательность также ограничена. Необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы с постоянными параметрами является
(1.40)Это условие аналогично (1.10) и оказывается достаточным для существования
.Сигналы на входе и выходе линейных инвариантных к сдвигу систем, таких, например, как фильтры, связаны дискретной сверткой (1.5) и кроме того, разностным уравнением
(1.41)Вычисляя z-преобразование от обеих частей, можно получить
(1.42)Сравнивая (1.41) и (1.42), полезно отметить следующее. Если задано разностное уравнение вида (1.41), то H(z)можно получить непосредственной подстановкой коэффициентов при входном сигнале в числитель передаточной функции к соответствующим степеням z-1, а коэффициенты при выходном сигнале - в знаменатель к соответствующим степеням z-1.
Передаточная функция в общем случае является дробно рациональной. Таким образом, она определяется положением нулей и полюсов на z-плоскости. Это означает, что H(z)можно представить в виде
(1.43)При рассмотрении z-преобразования отмечалось, что физически реализуемые системы имеют область сходимости вида |z|>R1. Если система, кроме того, еще и устойчива, то R1должно быть меньше единицы, таким образом единичная окружность входит в область сходимости. Иначе говоря, для устойчивой системы все полюсы H(z) должны лежать внутри единичной окружности.
Достаточно определить два типа линейных систем с постоянными параметрами. Это системы с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и системы с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). Эти два класса обладают отличными друг от друга свойствами, которые будут рассмотрены ниже.
Если все коэффициенты аk. в уравнении (1.22) равны нулю, то разностное уравнение принимает вид
(1.44)Сравнивая (1.44) с (1.56), можно отметить, что
(1.45)Системы с КИХ обладают рядом важных свойств. Передаточная функция H(z) таких систем представляет собой полином по степеням z-1и, таким образом, не имеет ненулевых полюсов, а содержит только нули. Системы с КИХ могут обладать строго линейной фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). Если h(n) удовлетворяет условию
(1.46)то
(1.47)где
- действительная или чисто мнимая величина в зависимости от знака в (1.48).Возможность получения строго линейной ФЧХ является очень важным обстоятельством применительно к речевым сигналам в тех случаях, когда требуется сохранить взаимное расположение элементов сигнала. Это свойство систем с КИХ существенно облегчает решение задачи их проектирования, поскольку все внимание можно уделять лишь аппроксимации амплитудно-частотной характеристики (АЧХ). За это достоинство фильтра с линейной ФЧХ, приходится расплачиваться необходимостью аппроксимации протяженной импульсной реакции в случае фильтров с крутыми АЧХ. Хорошо разработаны три метода проектирования КИХ-фильтров с линейными ФЧХ: взвешивания, частотной выборки и проектирования оптимальных фильтров с минимаксной ошибкой [1-3]. Второй и третий методы являются оптимизационными и используют итеративный (в отличие от замкнутой формы) подход для определения коэффициентов фильтра. Несмотря на простоту метода взвешивания, широкое применение нашли все три метода. Это обусловлено завершенностью глубоких исследований оптимальных КИХ-фильтров а, кроме того, наличием подробно описанных программ, позволяющих пользователю легко рассчитать любой фильтр [1,2,11].