Разработка программного обеспечения для голосового управления трехмерными моделями функционирования промышленных роботов (стр. 8 из 17)
Логарифм кратковременного спектра вокализованных звуков содержит медленно меняющуюся составляющую, обусловленную передаточными свойствами голосового тракта, и быстро меняющуюся периодическую составляющую, которая вызывается периодическим сигналом возбуждения (рис. 2.1а). Для невокализованной речи прологарифмированный спектр носит характер, показанный на рис.2.1б. Спектр содержит случайную составляющую с быстрыми изменениями.
Кепстры отрезков вокализованной и невокализованной речи (рис. 2.2) показывают, что медленно меняющаяся часть прологарифмированных значений кратковременного спектра представлена составляющими кепстра в области малых времен. Быстро меняющаяся периодическая составляющая прологарифмированного спектра, соответствующая частоте основного тона, в кепстре вокализованной речи проявляется в виде резкого пика, расположенного от начала координат на расстоянии, равном периоду основного тона. Кепстр невокализованной речи (рис. 2.2б) таких пиков не имеет.
Если кепстр перемножить на подходящую функцию окна, например прямоугольное окно, пропускающее только начальные участки кепстра (которые соответствуют области малых времен и отражают относительно медленно меняющиеся параметры голосового тракта), а затем вычислить дискретное преобразование Фурье результирующего взвешенного кепстра, то получим сглаженный спектр сигнала.
Он отражает резонансные свойства тракта, позволяя оценивать частоты и полосы формант. Наличие или отсутствие ярко выраженного пика в области, соответствующей диапазону изменений периода основного тона, указывает на характер возбуждения, а местоположение пика является хорошим индикатором периода основного тона (рис. 2.2).
Гомоморфные относительно свертки системы удовлетворяют обобщенному принципу суперпозиции. Принцип суперпозиции, если его записать для обычных линейных систем, имеет вид
(2.1a) 
(2.1б)где L – линейный оператор. Принцип суперпозиции устанавливает, что если сигнал на входе является линейной комбинацией элементарных сигналов, то и сигнал на выходе будет представлен в виде линейной комбинации соответствующих сигналов.
Прямым следствием принципа суперпозиции является тот факт, что сигнал на выходе линейной системы может быть представлен в виде дискретной свертки
(2.2)Символ « * » здесь и далее означает свертку в дискретном времени. По аналогии с принципом суперпозиции для обычных линейных систем определим класс систем, удовлетворяющих обобщенному принципу суперпозиции, в котором сложение заменяется сверткой (легко показать, что свертка обладает такими же алгебраическими свойствами, как и сложение [1]), т. е.
(2.3)В общем случае возможно сформулировать и уравнение, аналогичное (2.16), в котором выражено свойство скалярного умножения [2]. Системы, обладающие свойством (2.3), названы гомоморфными относительно свертки системами. Эта терминология объясняется тем [3], что данные преобразования оказываются гомоморфными преобразованиями линейного векторного пространства. При изображении таких систем операцию свертки представляют в явном виде на входе и выходе системы. Гомоморфный фильтр является гомоморфной системой, обладающей тем свойством, что одна компонента (выделяемая) проходит через эту систему без изменений, а другая – устраняется. В соотношении (2.3), например, если x1(n) - нежелательная компонента, то необходимо потребовать, чтобы выход, соответствующий x1(n), представлял собой единичный отсчет, в то время как выход, соответствующий х2(n), близко совпадал бы с х2(n). Это полностью аналогично ситуации в линейных системах, где ставится задача выделения сигнала из смеси его с аддитивным шумом.
Важным аспектом теории гомоморфных систем является то, что любая из них может быть представлена в виде каскадного соединения трех гомоморфных систем. Первый блок преобразует компоненты на входе, представленные в виде свертки, в аддитивную сумму на выходе. Второй блок -обычная линейная система, удовлетворяющая принципам суперпозиции в соответствии с (2.1). Третий блок является обратным первому, т. е. преобразует сигналы, представленные в виде суммы, в сигналы, представленные в виде свертки. Важность такого канонического представления заключается в том, что разработка гомоморфной системы сводится к разработке линейной системы. Блок*[], называемый характеристическим блоком гомоморфной относительно свертки системы, фиксирован при каноническом представлении. Очевидно, что обратное преобразование также фиксировано. Характеристическая система для гомоморфной обратной свертки подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в котором операция на входе – свертка, а на выходе – обычное сложение. Свойства характеристической системы определяются выражением
(2.4)Аналогично обратная характеристическая система удовлетворяет соотношению
(2.5)Математическое описание характеристической системы определяется требованиями к выходному сигналу. Если на входе имеется сигнал свертки, то
(2.6)и z-преобразование входного сигнала имеет вид
(2.7)Из (2.4) очевидно, что z-преобразование сигнала на выходе системы должно представлять собой сумму z-преобразований компонент. Таким образом, в частотной области характеристическая система для свертки должна обладать следующим свойством: если на входе имеется произведение компонент, то на выходе должна возникнуть их сумма.
С учетом возможности вычисления комплексного логарифма, обратное преобразование комплексного логарифма преобразования Фурье входного сигнала, являющееся выходом характеристической системы для свертки, имеет вид
(2.8)Выход характеристической системы назван «комплексным кепстром» Термин «кепстр» используется для величины
(2.9)Все системы этого класса отличаются только линейной частью. Выбор линейной системы определяется свойствами входного сигнала.
Следовательно, для правильного построения линейной системы необходимо прежде всего определить вид и структуру сигнала на выходе характеристической системы, т. е. рассмотреть свойства комплексного кепстра для типичных входных сигналов.
Для определения свойств комплексного кепстра достаточно рассмотреть случай рационального z-преобразования. Наиболее общая форма преобразования имеет вид
(2.10)где модули величин ак, bk, ckи dkменьше единицы. Таким образом, сомножители (1-akz-1) и (1-ckz-1) соответствуют нолям и полюсам внутри единичной окружности, a (1-bkz) и (1-dkz) - нолям и полюсам вне единичной окружности. Параметр zrозначает соответствующую задержку во временной области. Комплексный логарифм X(z) имеет вид
. (2.11)Когда (7.13) вычисляется на единичной окружности, легко видеть, что член
вносит вклад только в минимальную часть комплексного логарифма. Поскольку этот член несет информацию только о взаимном расположении во временной области, то при вычислении комплексного кепстра он обычно опускается [2]. Таким образом, при обсуждении свойств комплексного кепстра далее этот член не рассматривается. Используя то обстоятельство, что логарифм можно разложить в степенной ряд, относительно несложно показать, что комплексый кепстр имеет вид 
(2.12)Уравнения (2.12) позволяют выявить ряд важных свойств комплексного кепстра. Прежде всего, комплексный кепстр в общем случае отличен от ноля и бесконечен как для положительных, так и для отрицательных значений n, даже если х(n) удовлетворяет принципу причинности, устойчив и имеет конечную протяженность. Далее видно, что комплексный кепстр является затухающей последовательностью, ограниченной сверху
(2.13)где α - максимальное абсолютное значение величин а,kbk, сk и dk, β -постоянный сомножитель.
Если Х(z) не содержит нулей и полюсов вне единичной окружности (т.е. bk = dk=0),то
(2.14)Такие сигналы называются минимально-фазовыми [1]. Общий результат для последовательности (2.14) состоит в том, что такая последовательность полностью определяется действительной частью преобразования Фурье. Таким образом, для минимально-фазовых систем комплексный кепстр определяется лишь логарифмом модуля преобразования Фурье. Это можно легко показать, если вспомнить, что действительная часть преобразования Фурье представляет собой преобразование Фурье от четной части последовательности, т. е. если
– преобразование Фурье кепстра, то