Разработка программы определительных испытаний (стр. 4 из 5)
Основными числовыми характеристиками выборочной совокупности являются: выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое (или стандартное) отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрия, эксцесс.
Значения вычисляемых характеристик расположим в ячейках с F12 по F19, как показано в таблице 9.
Таблица 9 – Расчет выборочных характеристик
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 | 104 | 93 | 107 | 118 | 89 | 86 |
| 2 | 86 | 98 | 116 | 82 | 110 | 103 |
| 3 | 106 | 112 | 94 | 83 | 98 | 91 |
| 4 | 94 | 106 | 102 | 107 | 89 | 91 |
| 5 | 117 | 96 | 103 | 117 | 83 | |
| 6 | 94 | 92 | 107 | 108 | 106 | |
| 7 | 90 | 96 | 84 | 107 | 99 | 99 |
| 8 | 104 | 106 | 99 | 103 | 94 | 82 |
| 9 | 99 | 95 | 106 | 119 | 111 | |
| 10 | 109 | 118 | 104 | 95 | 98 | |
| 11 | ||||||
| 12 | Выборочное среднее | 100,0892857 | ||||
| 13 | Выборочная дисперсия | 100,7373377 | ||||
| 14 | Выборочное ср. квадр. отклонение | 10,03679917 | ||||
| 15 | Наименьшее значение | 82 | ||||
| 16 | Наибольшее значение | 119 | ||||
| 17 | Размах выборки | 37 | ||||
| 18 | Асимметрия | 0,012585618 | ||||
| 19 | Эксцесс | -0,711512555 | ||||
Вычислим числовые характеристики выборочной совокупности по формулам:
Выборочное среднее: F12 = CРЗНАЧ(A1:F10);
Выборочная дисперсия: F13 = ДИСП(A1:F10);
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
F14 = СТАНДОТКЛОН(A1:F10);
Наименьшее значение: F15 = МИН(A1:F10);
Наибольшее значение: F16 = МАКС(A1:F10);
Размах выборки: F17 = F16-F15;
Асимметрия: F18 = СКОС(A1:F10);
Эксцесс: F19 = ЭКСЦЕСС(A1:F10).
2.3 Формирование статистического ряда и графическое представление данных
Для наглядного представления статистических данных воспользуемся группировкой. Группировка данных производится в той же последовательности, что и в пункте 1.6.2 данной работы.
Для выборочной совокупности (таблица 8) результаты группировки представим в таблице 10. Сначала укажем объем выборки, максимальное и минимальное значение, размах выборки, количество групп и шаг:
А22 = 56, В22 =120, С22 = 80, D22 = B22 – C22, E22 =10, F22 = D22/E22
В этой таблице колонки В и С заполним левыми и правыми границами соответственно. Колонку D заполним по формуле:
D25 = (B25+C25)/2, с последующим копированием в ячейки D26:D34.
Таблица 10 – Группировка статистических данных
| A | B | C | D | E | F | G | H | |
| 21 | n | Xmax | Xmin | R | k | h | ||
| 22 | 56 | 120 | 80 | 40 | 10 | 4 | ||
| 23 | ||||||||
| 24 | Группа | Левая граница | Правая граница | Середина | Частота | Относ. частота | Накоп. частота | Накоп. относ. частота |
| 25 | 1 | 80 | 84 | 82 | 5 | 0,0892 | 5 | 0,0892 |
| 26 | 2 | 84 | 88 | 86 | 2 | 0,0357 | 7 | 0,125 |
| 27 | 3 | 88 | 92 | 90 | 6 | 0,1071 | 13 | 0,2321 |
| 28 | 4 | 92 | 96 | 94 | 9 | 0,1607 | 22 | 0,3928 |
| 29 | 5 | 96 | 100 | 98 | 7 | 0,125 | 29 | 0,5178 |
| 30 | 6 | 100 | 104 | 102 | 7 | 0,125 | 36 | 0,6428 |
| 31 | 7 | 104 | 108 | 106 | 10 | 0,1785 | 46 | 0,8214 |
| 32 | 8 | 108 | 112 | 110 | 4 | 0,0714 | 50 | 0,8928 |
| 33 | 9 | 112 | 116 | 114 | 1 | 0,0178 | 51 | 0,9107 |
| 34 | 10 | 116 | 120 | 118 | 5 | 0,0892 | 56 | 1 |
Для заполнения колонки Е выделим ячейки Е25:Е34 и воспользуемся функцией ЧАСТОТА, указав массив статистических данных и массив правых границ интервалов: { = ЧАСТОТА (А1:F10; C25:C34)}
Одновременным нажатием клавиш заполним остальные выделенные ячейки.
Колонку F заполним с помощью формулы:
F25 = E25/$A$22, с последующим копированием в ячейки F26:F34
Колонку G заполним с помощью формулы:
G25 = E25, G26 = G25 + E26 с последующим копированием в ячейки G27:G34
Колонку H заполним с помощью формулы:
H25 = G25/$A$22, с последующим копированием в ячейки H26:H34
Данные, собранные в таблице 10 наглядно представим с помощью:
полигон частот – графическая зависимость частот (относительных частот) от середины интервалов (рисунок 9).
Рисунок 9 – Полигон частот
кумуляты частот – графическая зависимость накопленных частот (накопленных относительных частот) от середины интервалов (рисунок 10).
Рисунок 10 – Кумуляты частот
2.4 Подбор подходящего закона распределения вероятностей
Далее рассмотрим некоторые известные распределения, такие как равномерное, нормальное и гамма-распределение, с целью проверки подчиняется ли наше распределение вероятностей заданному.
Проверка на соответствие данных испытаний распределению производится перебором трех распределений, указанных выше, включая заданное, а именно равномерное.
Чтобы иметь полную информацию о распределении случайной величины, надо знать параметры этого распределения. Таким образом, математическое ожидание случайной величины t равно выборочной средней, а среднее квадратическое отклонение случайной величины t – выборочному среднему квадратическому отклонению. Указанные характеристики находятся в ячейках F12 и F14 соответственно. Поместим эти значения в ячейки А2 и В2 соответственно (таблица 11).
Определим параметры равномерного (a и b), нормального (m – математическое отклонение и σ – среднее квадратическое отклонение), экспоненциального и гамма-распределения (α и β) в соответствии с формулами:
, 
, 
, 
, 
B5 = 1/A2;
B8 = A2-В2*КОРЕНЬ(3);
B9 = А2+В2*КОРЕНЬ(3);
B12 = (A2/B2)^2;
B13 = B2^2/A2;
B16 = (A2/B2)^2;
B17 = B2^2/A2.
Таблица 11 – Значения плотностей распределения
| A | B | C | D | E | F | |
| 1 | Матем. ожидание | Ср. кв. отклон. | ||||
| 2 | 100,0892 | 10,0367 | ||||
| 3 | ||||||
| 4 | Параметры экспоненциального распределения | |||||
| 5 | λ | 0,0100 | ||||
| 6 | ||||||
| 7 | Параметры равномерного распределения | |||||
| 8 | а | 82,7050 | ||||
| 9 | b | 117,4735 | ||||
| 10 | ||||||
| 11 | Параметры нормального распределения | |||||
| 12 | m | 100,0893 | ||||
| 13 | σ | 10,0367 | ||||
| 14 | ||||||
| 15 | Параметры гамма-распределения | |||||
| 16 | α | 99,4454 | ||||
| 17 | β | 1,0065 | ||||
| 18 | ||||||
| 19 | Середина | Плотность относит. частот | Плотность экспоненц. распред. | Плотность нормал. распред. | Плотность гамма- распред. | Плотность равномер. распред. |
| 20 | 82 | 0,0223 | 0,0044 | 0,0078 | 0,0076 | 0 |
| 21 | 86 | 0,0089 | 0,0042 | 0,0148 | 0,0156 | 0,0287 |
| 22 | 90 | 0,0267 | 0,0041 | 0,0240 | 0,0257 | 0,0287 |
| 23 | 94 | 0,0401 | 0,0039 | 0,0331 | 0,0349 | 0,0287 |
| 24 | 98 | 0,0312 | 0,0038 | 0,0389 | 0,0397 | 0,0287 |
| 25 | 102 | 0,0312 | 0,0036 | 0,0390 | 0,0383 | 0,0287 |
| 26 | 106 | 0,0446 | 0,0035 | 0,0334 | 0,0317 | 0,0287 |
| 27 | 110 | 0,0178 | 0,0033 | 0,0244 | 0,0229 | 0,0287 |
| 28 | 114 | 0,0044 | 0,0032 | 0,0152 | 0,0145 | 0,0287 |
| 29 | 118 | 0,0223 | 0,0031 | 0,0081 | 0,0081 | 0 |
В ячейках В20:В29 вычислим плотности относительных частот как частное от деления относительных частот (ячейки F25:F34) на шаг (ячейка $F$22) из таблицы 10.
Плотности равномерного, нормального, экспоненциального и гамма-распределений рассчитываются в соответствии с формулами:
С20 = ЭКСПРАСП (А20;$B$5;ЛОЖЬ);
D20 = НОРМРАСП (А20; $B$12; $B$13; ЛОЖЬ);
E20 = ГАММАРАСП (А20; $B$16; $B$17; ЛОЖЬ).
F20 = ЕСЛИ(А20<$B$8; 0; ЕСЛИ(A20>=$B$9; 1/($B$9-$B$8); 0));
Затем копируем их в блок ячеек С21:F21.
После чего строим гистограмму частот, совмещенную с плотностью каждого из указанных ранее распределений. Графическое изображение гистограммы кривых различных распределений приведены на рисунках 11- 13.
Рисунок 11 – Сглаживание гистограммы плотностью равномерного распределения
Рисунок 12 – Сглаживание гистограммы плотностью нормального распределения
Рисунок 13 – Сглаживание гистограммы плотностью гамма-распределения
Рисунок 14 – Сглаживание гистограммы плотностью экспоненциального распределения
Используя критерий χ2, установим, верна ли принятая гипотеза о том, что статистические данные подчиняются равномерному распределению, так, чтобы ошибка не превышала заданного уровня значимости α (вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза).