Разработка системы регулирования температуры смазочного масла турбины (стр. 4 из 9)
Рис. 3.2
На схеме приняты следующие обозначения:
u и y – наблюдаемые входной и выходной сигналы;
x – ненаблюдаемая (скрытая) переменная, оцениваемая косвенно по сигналам u и y , получаемым в результате преобразования в системе операторами А В и H;
е1 и е2 – ненаблюдаемые помехи (случайные процессы типа белого шума);
f и v – ненаблюдаемые помехи (коррелированные во времени случайные сигналы, в некоторых случаях содержащие детерминированные составляющие);
A, B, C, E, G, H – операторы, вид которых известен, но неизвестны параметры.
Основными постановками задач идентификации являются:
– идентификация, или определение характеристик объекта (по значениям u и y определить операторы А, В иC);
– генерация случайных сигналов с заданными характеристиками, или определение характеристик сигналов (по значениям fили v определить оператор E или G, H);
– наблюдение за скрытыми переменными, или определение переменных состояния (по наблюдаемым u и y, известным операторам A, B, C, E, G, H определить x).
Решение вышеназванных задач идентификации осуществляется методами параметрической и непараметрической идентификации. При использовании методов параметрической идентификации сразу определяются коэффициенты передаточной функции или уравнения объекта. Вторая группа методов используется для определения временных или частотных характеристик объектов, а также характеристик случайных процессов генерируемых объектами. По полученным характеристикам затем определяются передаточная функция или уравнения объекта. В настоящее время более широкое распространение получили методы параметрической идентификации.
3.3 Метод наименьших квадратов
Параметрическая идентификация моделей объектов позволяет сразу находить значения коэффициентов модели объекта по измеряемым значениям управляемого y и управляющего u сигналов объекта. При этом предполагается, что структура и порядок модели объекта уже известен. Измеряемые значения y и u представляются в виде временного ряда, поэтому в результате идентификации оцениваются параметры АРСС – модели объекта, или параметры его дискретной передаточной функции. Зная коэффициенты АРСС – модели и ее структуру можно перейти к непрерывным структурированным моделям и моделям в пространстве состояний, как это делалось в п. 2.4.
В задачах параметрической идентификации используются модели объекта с шумом измерений, задаваемые передаточными функциями и структурой рис. 3.2. Считая порядки моделей заданными, задачей параметрической идентификации стохастической системы считается определение оценок коэффициентов полиномов модели A,B,Cи D по результатам измерений входа u(t)и выхода y(t). Свойства получаемых оценок (состоятельность, несмещенность и эффективность) зависят от характеристик внешних возмущений и метода идентификации, при этом существенную роль играет вид закона распределения внешних возмущений.
Важным преимуществом методов параметрической идентификации является возможность использования рекуррентных алгоритмов, позволяющих проводить текущую идентификацию в реальном времени при номинальных режимах работы объекта. Эти преимущества определили широкое использование методов параметрической идентификации в задачах управления и автоматизации. К таким методам относятся: метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия и метод стохастической аппроксимации .
Подставим в уравнение АРСС - модели значения сигналов y(k) и u(k), а также оценки параметров объекта, полученные после (k – 1) - го такта [32]:
. (5.1)В этом уравнении ноль, стоящий в правой части уравнения (получающийся после переноса всех слагаемых в левую часть) заменен величиной ошибки e(k). Она отражает наличие погрешности измерений выхода и неточность оценок параметров модели ai и bi. Обозначим значение y(k) как значение y(k/k – 1), предсказанное в момент (k – 1) на момент k. Тогда
, (3.6)Или
, (3.8)где
- вектор оценок,
- вектор данных,d – величина дискретного запаздывания.
Ошибка уравнения e(k) будет иметь вид
, (3.9)где y(k) – новое измерение; y(k/k-1) – предсказанное значение измерения.
Предположим, что измерения выполнены на интервале
k = 1, 2, ..., n + d + N
а порядок АРСС – модели (n,n). Тогда на основании (3.8) (5.4)получим векторно-матричное уравнение вида
, (3.10)где
- вектор выхода, 
- матрица данных, 
– вектор ошибок.
Функция потерь по критерию наименьших квадратов определяется как квадрат ошибки, что в векторном представлении дает
, (3.11)а ее минимум находится из условия
. (3.12)Полагая, что N ³ 2n, обозначим
, (3.13)тогда оценка минимизирующая функцию потерь (3.11)будет иметь вид:
. (3.14) .Алгоритм (3.14) – нерекуррентный алгоритм идентификации по методу наименьших квадратов, так как вычисление оценок параметров модели
производится лишь после того как сформирован весь массив входных и выходных данных объекта 
.Рекуррентный алгоритм МНК получается после записи новой
и старой 
оценок и вычитания одной из другой:
. (3.15)Вектор коррекции определяется из соотношения:
. (3.16)Вектор
на следующем шаге вычисляется как 
. (3.17)Рекуррентный алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в следующей последовательности.
1. Задаются начальные значения вектора оценок параметров модели и вектора данных:
,
где
– достаточно большое число, I – единичная матрица соответствующей размерности.2. Производятся измерения входного и выходного сигналов объекта, и формируется новый вектор данных
.3. Вычисляется вектор коррекции
по формуле (3.16)4. Находится новая оценка параметров
по формуле (3.15)5. Вычисляется новый вектор
по формуле (3.16)Обычно для промышленных объектов характерна коррелированность во времени шумов, действующих на объект. Использование обычного МНК при таком шуме, т. е. при минимизации выражения (3.11), вызывает смещение оценок параметров, увеличение дисперсии этих оценок. Ухудшение этих оценок, в свою очередь, приводит к ухудшению свойств оценок переменных состояния х(k) и в итоге к снижению качества управления.
Для получения несмещенных оценок используется обобщенный МНК (ОМНК).
При использовании ОМНК оцениваются параметры моделей объекта и шума на его выходе. Идентификации подвергается модель максимального правдоподобия (МП - модель) для которой связь между переменными задается уравнением
. (3.18)Вводя расширенные векторы данных
(3.19)и параметров
, (3.20)выход ной сигнал объекта можно записать через (5.13) и (5.14)
. (3.21)Так как сигнал помехи е(к) неизвестен, то используется его оценка
, определяемая из уравнения