Разработка системы регулирования температуры смазочного масла турбины (стр. 5 из 9)
. (3.22)Оценки параметров МП - модели вычисляются аналогично как в МНК по формулам (3.15) – (3.17).
На рис. 3.3. -3 показаны результаты идентификации.
Рис. 3.3. Коэффициенты АРСС – модели объекта.
Рис. 3.4. Выходные сигналы объекта и модели.
Рис. 3.4. Ошибка идентификации.
Рис. 3.5. Корреляционная функция ошибки идентификации.
Рис. 3.5. Спектральная плотность ошибки идентификации.
Рис. 3.6. Гистограмм ошибки идентификации.
4. Расчет характеристик математической модели объекта управления
4.1 Математические модели в пространстве состояний
Математическая модель (образ) представляет собой абстрактное отражение реального объекта (оригинала, прообраза). В зависимости от типа объекта и целей, ради которых строится и используется модель, формальное описание может быть различным. Для моделирования объектов могут быть использованы структурные схемы, операторные уравнения, алгебраические уравнения, дифференциальные, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, Марковские цепи, передаточные функции, частотные характеристики, весовые функции, графы и т. д. Все эти методы функционально связывают входные и выходные сигналы объекта. По количеству входов и выходов объекты и соответствующие им модели разделяют на одномерные и многомерные. Одномерными называют объекты, имеющие один вход и один выход, многомерными – объекты, имеющие несколько входов и выходов, причем число входов не обязательно равно числу выходов. Блок-схемы одномерного и многомерного объектов изображены соответственно на рис. 4.1,а и рис. 4.1,б. Причем число входов не обязательно равно числу выходов.
Рис. 4.1.
Наиболее полно идентифицируемый объект описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин xi, полностью определяющих его положение в данный момент времени.
Наиболее употребительной моделью динамических объектов являются дифференциальные уравнения. Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.
Для динамических систем, в которых физические процессы протекают непрерывно во времени, скорости изменения переменной состояния объекта можно также задать вектором
, (4.1)где
, 
– скорости изменения компонент многомерной переменной состояния.В свою очередь эти скорости определяются текущими значениями переменной состояния
, управлениями 
и возмущениями 
, действующими на объект 
, (4.2)где g = (g1, ..., gn)T – вектор функция; x10, x20. .., xn0– начальные условия.
Если g( ) – нелинейная функция, то решение уравнения (4.2) усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных ДУ. Так как методы интегрирования систем ДУ хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать g( ) в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта.
Для линеаризованной функции g( ) ДУ вида (4.2) с учетом воздействия среды можно представить в векторной форме:
, (4.3)где A(t); B(t); E(t) – матрицы преобразования, элементы которых в общем случае являются функциями времени.
Элементы xiв уравнении (4.3) называются переменными состояния объекта или фазовыми координатами. Переменные состояния
(фазовые координаты) образуют вектор состояния, переменные управления и возмущения образуют векторы управления и возмущения. Множество этих векторов составляет пространство состояний (фазовое пространство) X, пространство управлений U и возмущений F.Во многих физических объектах регулируются, измеряются и передаются по информационным каналам не значения вектора состояния
, а другие значения – функции составляющих вектора фазовых координат, называемые управляемыми или выходными величинами. Обозначим измеряемые величины через y1(t), y2(t),..., ys(t), причем обычно s £ n. Тогда уравнение измерения, связывающее регулируемые и фазовые координаты объекта примет вид 
. (4.4)
Для линейного объекта это соотношение линейное:
. (4.5)
Матрица С(t) называется матрицей измерения. Она показывает, как изменяются значения вектора состояний при измерении. При измерениях, описываемых выражениями (4.4) и (4.5), вектором выходных сигналов (или просто вектором выхода) является вектор
. Отметим, что между векторами входа, выхода и состояния существует принципиальное различие. Если все составляющие вектора входа и вектора выхода являются вполне конкретными физическими величинами, то элементами вектора состояния могут быть некоторые абстрактные переменные, физическая природа которых не всегда определена.Векторно-матричная запись модели линейного динамического объекта с учетом уравнения измерения принимает вид:
. (4.6)Если матрицы A(t), B(t) и C(t) не зависят от времени, то объект называется объектом с постоянными коэффициентами, или стационарным, объектов. В противном случае объект будет нестационарным.
При наличии погрешностей при измерении, выходные (регулируемые) сигналы задаются линеаризованным матричным уравнением:
, (4.7)
где
– вектор регулируемых (измеряемых) величин; C(t) – матрица связи вектора измерений с вектором состояний; v(t) – вектор ошибок измерений (помехи).Структура линейной непрерывной системы, реализующая уравнения (4.6) и (2.7) приведена на рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Данная структура соответствует математической модели объекта построенной в пространстве состояний его входных x(t), u(t), выходных y(t)и внутренних, или фазовых координат x(t).
4.2 Структурированные модели
Реальные объекты управления представляют собой совокупность отдельных элементов и блоков соединенных между собой посредством связей. Поэтому в практике гораздо удобнее бывает представлять математическую модель всей системы, как совокупность относительно простых математических моделей отдельных элементов и блоков объекта, т.е. структурированную модель. Такая форма математического описания в отличии от (4.6) отражает не только физические, но и технические принципы построения системы управления и позволяет исследовать процессы происходящие не только в системе в целом, но и процессы в отдельных ее элементах.
Структурированные модели, учитывающие техническую организацию систем управления, создаются на основе следующих допущений:
1. Все элементы системы являются простейшими звеньями, т.е. имеют один вход и один выход. Если звено характеризуется несколькими обобщенными координатами, то в качестве выходной величины выбирается та координата, которая является выходной или регулируемой величиной звена.
2. Все звенья, из которых состоит система, является детектирующими. В детектирующем звене выходная величина зависит только от входной. Если выходная величина звена оказывает влияние на входную, то звено называется недетектирующим.
Допущения о том, что в состав системы управления должны входить только детектирующие звенья не сужает область применения структурированных моделей, так как недетектирующее звено может рассматривать как совокупность детектирующих звеньев охватываемых обратной связью.
Таким образом, структурированная модель системы управления разбивается на ряд взаимосвязанных математических моделей отдельных звеньев. Тогда, последовательно, исключая из рассмотрения все внутренние переменные, являющиеся входными или выходными сигналами внутренних звеньев, можно найти дифференциальное уравнение описывающее взаимосвязь входной и выходной величины системы в виде.