Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов (стр. 1 из 2)
Решетчатые фильтры для стационарных случайных процессов
1. Достоинства решетчатых фильтров
Построение АР модели или синтез АР фильтра требуют вычисления коэффициентов АР. Для этого необходимо обращать корреляционную матрицу, а эта операция, как правило, сопряжена с большим объемом вычислений.
Поиски эффективных алгоритмов вычисления коэффициентов АР привели к синтезу решетчатых структур. Решетчатые структуры могут быть реализованы в виде решетчатых фильтров (РФ). Параметрами РФ являются коэффициенты отражения и число звеньев фильтра. Коэффициенты отражения однозначно связаны нелинейными соотношениями с параметрами АР и определяются, в конечном счете, корреляционной функцией случайного процесса. Число звеньев РФ равно порядку АР модели. РФ, также как и АР фильтры, являются фильтрами предсказания, минимизирующими дисперсию ошибки предсказания.
Несмотря на то, что АР фильтры и РФ математически эквивалентны, между ними существует ряд различий, существенных с практической точки зрения. При цифровой реализации фильтров особое значение играет шум округления. Его появление связано с тем, что значения величин приходится представлять конечным числом разрядов. Как показывает опыт, в этом отношении РФ более эффективны. Объясняется это тем, что ошибки округления (i-1) – го звена в РФ частично компенсируются в i-м звене РФ, чего нет в АР фильтрах.
Другим существенным свойством цифровых фильтров является их чувствительность к квантованной форме представления параметров фильтра. Поэтому, естественно, возникает вопрос: насколько сильно зависят характеристики фильтра от отклонения величин параметров? Доказано, что РФ менее чувствительны к погрешностям квантования параметров по сравнению с фильтрами прямой реализации.
При синтезе РФ, состоящего из p звеньев, используются те же коэффициенты отражения, что и у (p-1) – звенного фильтра. В АР фильтре при увеличении числа звеньев фильтра приходится заново пересчитывать все коэффициенты АР фильтра. Следовательно, использование РФ для обработки случайных сигналов имеет ряд преимуществ, по сравнению с АР фильтрами.
2. Синтез решетчатого фильтра
Несмотря на близость РФ и АР фильтров, использование РФ требует введения новых понятий и соотношений, на основе которых выводится структура РФ. Прежде всего, необходимо остановиться на выводе рекуррентных соотношений, которые носят название алгоритма Левинсона-Дарбина. Алгоритм позволяет вычислять для р-го порядка коэффициенты АР и отражения РФ по найденным коэффициентам АР модели сигнала 1…р порядков.
По аналогии с фильтром прямого предсказания для сигнала, описываемого моделью АР р-го порядка, можно ввести фильтр обратного предсказания, описываемый выражением
, (1)где
– коэффициенты фильтра обратного предсказания, состоящего из р звеньев, 
– ошибка обратного предсказания на выходе р-го звена фильтра. Уравнение описывает регрессию значения случайного процесса 
на последующие 
.Значения коэффициентов фильтра обратного предсказания находятся с помощью системы уравнений, аналогичной системе уравнений Юла-Уокера можно представить обобщенные уравнения Юла-Уокера в матричном виде
, (2)где
-квадрат СКО, равный дисперсии ошибки прямого предсказания, Rp– корреляционная матрица (p+1) – го порядка 
. (3)Чтобы не выходить за рамки общепринятых в теории решетчатых фильтров обозначений, в дальнейшем изложении будет использоваться замена
и 
.Умножив левую и правую части уравнения на
, 
и усреднив, легко получить уравнение Юла-Уокера для фильтра обратного предсказания, аналогичное (3) 
, (4)где
– дисперсия ошибки обратного предсказания на выходе p-го звена фильтра обратного предсказания. Объединив матричные уравнения (2) и (4) можно записать общее уравнение 
. (5)Очевидно, что для (р+1) – звенного фильтра должно так же выполняться соотношение типа
. (6)От матричного уравнения (5) можно перейти к матричному уравнению (6) лишь в том случае, если коэффициенты фильтров прямого и обратного предсказания p-го порядка связаны с коэффициентами фильтра (p+1) – го порядка следующим образом
, (7)где
- некоторые, так называемые, коэффициенты отражения. Умножив справа левую и правую части матричного уравнения (7), на корреляционную матрицу 
можно показать, что коэффициенты отражения удовлетворяют соотношениям 
, (8а) 
. (8б)Величины, входящие в соотношения (8а) и (8б), описываемые выражениями
, (9а) 
, (9б)как будет показано ниже, интерпретируются как взаимная корреляция ошибок прямого и обратного предсказания при единичной задержке. Для скалярного случая справедливы равенства
. (10)Используя соотношения (8а), (8б) и учитывая (7), алгоритм Левинсона-Дарбина, позволяющий вычислять коэффициенты АР по коэффициентам отражения, можно представить в виде
(11) 
, (12) 
, (13)с инициацией
, 
. (14)Найденный алгоритм Левинсона-Дарбина позволяет получить структуру РФ. Формулы дают выражение
, (15)которое с помощью (4) и учетом (15) для р-го звена приводится к виду
. (16)Аналогично можно найти выражение для ошибки обратного предсказания в р звене
. (17)Полученные выражения (16) и (17) дают возможность представить структуру РФ в виде, изображенном на рисунке 1.
Рисунок 1. Обеляющий РФ
При поступлении сигнала на вход фильтра на выходе каждого звена фильтра появятся ошибки предсказания вперед и назад. Как видно из рисунка 3 ошибки предсказания вперед и назад связаны друг с другом соотношениями (14) и (15).
Можно показать, используя соотношение (17), что решение задачи минимизации дисперсии ошибки предсказания
относительно коэффициента отражения Кpдает следующее выражение для коэффициента отражения
. (18)К этому же соотношению можно придти путем несложных преобразований выражений (14) и (15). Таким образом, РФ, коэффициенты отражения которого определяются алгоритмом Левинсона-Дарбина, минимизирует дисперсию ошибки предсказания. Выражение (18) дает удобную оценку коэффициентов отражения РФ, позволяющее обновлять их при адаптации фильтра.
Из рисунка 1 видно, что текущий отсчет случайного процесса можно представить в виде
, 
, (19)т.е. взвешенным суммированием ошибок обратного предсказания в предшествующий момент времени с коэффициентами веса, равными коэффициентам отражения. Случайная величина хt, представленная в виде (19), полностью определяется коэффициентами веса, роль которых играют коэффициенты отражения. Таким образом, коэффициенты отражения полностью характеризуют случайный процесс в рамках модели АР. Это свойство коэффициентов отражения РФ позволяет использовать их в качестве информативного признака при распознавании и спектральном оценивании.
3. Генерация случайных процессов на основе фильтра с решетчатой структурой
Неадаптивные РФ используются для обработки стационарных коррелированных процессов. Примерами задач, решаемых с помощью таких фильтров, может служить применение РФ для подавления или обеления стационарных коррелированных помех, измерение некоторых параметров сигнала, кодировании и декодирования, генерации случайных процессов, синтеза речи, создания эффективных вычислительных алгоритмов и т.д.