Протягом періоду Т структура схеми заміщення не міняється, змінюється лише напруга U.
Система диференційних рівнянь має наступній вигляд:
В залежності від інтервалу напруга U буде рівною:
, .Отриману систему рівнянь використаємо при моделюванні перехідних процесів у схемі. Моделювання будемо здійснювати за допомогою програми MathLab 7.5. Блок-схема програми моделювання перехідних процесів у схемі наведено у Додатку №1.
В результаті моделювання були отримані графіки струму індуктивності, напруги на ємності, випрямленої напруги та основних напруг системи керування: ГПН та сигналу помилки.
Графік перехідного процесу показано на рис. 4.2.
Рис. 4.2.
Більш детально графіки в момент пуску та для усталеного режиму показано на рис. 4.3 та 4.4 відповідно.
Рис. 4.3.
Рис. 4.4.
5. Дослідження стійкості
Дослідження стійкості будь-якої системи можна розбити на етапи:
1. Складання рівнянь на окремих інтервалах роботи;
2. Об’єднання отриманих рівнянь;
3. Лінеаризація рівнянь відносно однієї із змінних стану;
4. Знаходження розв’язку усталеного режиму;
5. Дослідження стійкості по характеристичному рівнянню.
Рівняння для кожного інтервалу роботи схеми ми знайшли в попередньому пункті, при досліджені перехідного процесу:
Для зручності написання систем об’єднаємо послідовно підключені опори
Ом.1.
;2.
.Систему керування можна описати наступною системою рівнянь:
,де,
- сигнал помилки, - вихідна напруга, - опорна напруга, - сигнал зворотнього зв’язку, - коефіцієнт підсилення , - функція, що приймає значення 1 при високому рівні на виході СК, а 0 – при низькому.Використаємо
для того, щоб об’єднати системи рівнянь для двох інтервалів роботи схеми. .Представимо отриману систему рівнянь у матричній формі:
,де
, , .Лінеаризуємо отриману систему в "малому". Знайдем диференціали по змінним стану від правої і лівої частин системи. Ввівши позначення
, , отримаємо рівняння ,де
, , .Оскільки матриця
не залежить від змінних стану та , то . , ,де
– -функція Дірака.Використаємо наступну властивість
-функції , , ; .оскільки
, то можемо записати: .Використовуючи властивість
-функції , визначимо значення добутку:Оскільки
то
; ,де матриця S має вигляд:
.Визначимо матриці А1 та А2:
, , .Знайдемо розв’язок рівняння на інтервалі постоянства структури з використанням неперервного перетворення Лапласа на інтервалі
.Застосуємо неперервне перетворення Лапласа до лівої і правої частини рівняня:
.Рішаючи отримане матричне рівняння отримаємо:
, де – зворотня матриця; , .Для переходу в часову область використаємо зворотнє перетворення Лапласа, в результаті чого отримаємо:
,де
.Знайдемо розв’язок рівняння на інтервалі постоянства структури з використанням неперервного перетворення Лапласа на інтервалі
: ,де .Застосуємо неперервне перетворення Лапласа до лівої і правої частини рівняня:
.Рішаючи отримане матричне рівняння отримаємо:
,де
– зворотня матриця.Для переходу в часову область використаємо зворотнє перетворення Лапласа, в результаті чого отримаємо:
;де
.Підставимо в рівняння для інтервалу
значення часу , а в рівняння для інтервалу – значення часу , після чого підставимо перше рівння у друге: ;