Систематична похибка опосередкованих вимірювань (стр. 2 из 3)

.

Величину

називають середнім квадратичним значенням абсолютної випадкової похибки опосередкованих вимірювань.

Тоді СКЗ відносної випадкової похибки опосередкованих вимірювань

.

При роздільній оцінці систематичних і випадкових похибок результату опосередкованих вимірювань необхідно мати на увазі таке. Очевидно, що оцінити систематичну похибку результату опосередкованих вимірювань неможливо, не знаючи оцінок систематичних похибок початкових величин

. Але якщо вони відомі, то їх необхідно вилучити з результатів прямих вимірювань , а потім оцінити результат опосередкованого вимірювання за цими виправленими значеннями . Водночас така оцінка систематичної похибки може бути проведена після закінчення експерименту. Тоді її у вигляді поправки необхідно врахувати в остаточному результаті опосередкованого вимірювання. Оцінка систематичної похибки може використовуватися також під час підготовки до експерименту, як орієнтовна оцінка. Наприклад, якщо припустити, що похибка результату опосередкованого вимірювання визначається тільки похибкою ЗВТ при вимірюванні величин , причому в цих ЗВТ переважаючою є систематична похибка (випадковою похибкою можна знехтувати), то на підставі оцінки систематичної похибки за певною формулою при (провівши формальну заміну , ) можна вибрати ЗВТ з такими границями допустимих систематичних похибок, щоб похибка результату опосередкованих вимірювань величини Y не перевищувала заданого значення.

Оцінка результатів і похибок сумісних та сукупних вимірювань

Загальною ознакою сумісних і сукупних вимірювань, відповідно до їх визначення (див. § 1.5), є те, що значення шуканих величин визначають, розв’язуючи систему рівнянь, які зв’язують шукані величини з деякими іншими величинами, вимірюваними прямими або опосередкованими методами, причому вимірюють декілька комбінацій значень цих величин. Вимірювання, проведені для кожної комбінації, дозволяють одержати одне рівняння, а сукупність цих рівнянь для всіх комбінацій являє собою систему рівнянь, в яку входять також усі значення шуканих величин. Цю систему рівнянь, відповідно до (1.7), запишемо для стислості записів у вигляді

, (4.36)

де

- значення шуканих величин, ;

- значення величин, вимірюваних прямими або опосередкованими методами в q-му досліді, ;

n - число дослідів;

k - число величин, які вимірюються в кожному досліді;

m - число шуканих величин.

Рівняння, як і рівняння, за формою однакові для сумісних і сукупних вимірювань. Їх відмінністю є тільки фізична суть шуканих величин.

Якщо

є значеннями тієї самої фізичної величини (наприклад, масами гир певного набору або довжинами лінійних мір), то вимірювання сукупні. Якщо ж - значення різних фізичних величин (наприклад, опору і температури), то вимірювання сумісні. Ще раз підкреслимо, що такий поділ вимірювань дуже умовний, але він традиційно існує.

Після проведення n дослідів одержують n комбінацій значень вимірюваних величин

. Підставляючи у початкову систему і проводячи необхідні перетворення, одержимо систему рівнянь

Рівняння (4.37) містять у собі шукані величини

і числові коефіцієнти . Для визначення m невідомих значень шуканих величин необхідно мати m рівнянь. Тоді результати вимірювань величин і довірчі границі їх похибок можна знайти за методиками обробки результатів опосередкованих вимірювань. Проте, з метою зменшення похибок результатів вимірювань, дослідів проводять дещо більше, ніж число m невідомих величин , тобто .

Оскільки точність вимірювання величин

обмежена, то умовні рівняння одночасно не перетворюються в тотожності при жодних значеннях шуканих величин , а отже, не виникає можливості визначення їх істинних значень. Тому задача зводиться до знаходження оцінок шуканих величин , найбільш наближених до істинних значень. Позначимо такі оцінки . Якщо значення підставити в умовні рівняння, то їх ліві частини, в загальному випадку, будуть відрізнятися від правих частин. Такі рівняння і названі умовними. Для одержання тотожності введемо в праві частини умовних рівнянь деякі величини , які називають залишковими похибками умовних рівнянь або відхилами. Звідси маємо

. (4.38)

Для розв’язання системи умовних рівнянь застосовується метод найменших квадратів (МНК), згідно з яким оцінки

вибирають так, щоб мінімізувати суму квадратів відхилів

.

Розв’язання задачі в самому загальному випадку, коли умовні рівняння нелінійні, а результати окремих вимірювань корельовані, дещо утруднено. Тому розглянемо окремий випадок, коли умовні рівняння лінійні або приведені до лінійного вигляду, а результати вимірювань величин

рівноточні і некорельовані. Тоді оцінки, одержані методом найменших квадратів, будуть обґрунтованими і незміщеними, а при нормальному розподілі результатів вимірювань ще й ефективними. У цьому випадку система рівнянь може бути приведена до вигляду

(4.39)

де

- коефіцієнти, одержані із системи рівнянь після її лінеаризації (якщо вона нелінійна) і підстановки значень величин , причому q - рядок, j - стовпчик;

- постійна величина.

Сума квадратів відхилів визначається із системи рівнянь

Як відомо, необхідною умовою мінімуму диференціальної функції багатьох змінних, у даному випадку

, є виконання рівнянь: