Структурная надежность радиотехнических систем (стр. 3 из 10)

Таким образом, сеть обладает заданной надежностью, если вероятность наличия связи или, как говорят, вероятность связности H_rl для каждой пары узлов не менее заданной Р_rl. В этих условиях расчет структурной надежности сети сводится к расчету вероятности связности между узлами. В дальнейшем рассмотрим и некоторые другие критерии надежности сети.

Итак, задана структура некоторой сети, состоящей из N элементов, причем надежностьp_i каждого элемента известна (i=

). Необходимо определить вероятность связности относительно выделенной пары узлов r,l. Каждый элемент сети может находиться только в двух состояниях - исправен (И) или неисправен (H). При этом сеть может, очевидно, находиться в любом из S=2^N состояний. В некоторых из этих состояний сеть будет связна (С_rl) относительно рассматриваемых узлов. Если обозначить черезE_s вероятность того, что сеть находится в состоянии s, s=l, S, то искомая вероятность связности сети

H_rl=

E_s (2.9)

где E_s=

pi

(1-p_i).

При этом по-прежнему предполагается, что отказы всех элементов сети - события независимые.

Рассмотренный метод расчета структурной надежности сети сопряжен с полным перебором ее состояний и при увеличении размеров сети быстро становится нереализуемым даже на современных быстродействующих ЭВМ.

2.2.1 Метод разложения

Несколько менее трудоемким является метод, основанный на разложении структуры сети относительно какого-нибудь ее элемента (метод разложения Шеннона-Мура). Идея этого метода заключается в том, чтобы свести анализируемую структуру к последовательно-параллельным соединениям и тем самым избежать полного перебора состояний. Для примера рассмотрим сеть простейшей структуры в виде мостика (рис.2.1).

Рисунок 2.1 Метод разложения

Для простоты положим, что узлы этой сети идеально надежны, а ветви имеют конечную надежность р_i, i=

. Нумерация ветвей приведена на рисунке. Проделаем с элементом под номером 5 ("перемычка" мостика) два опыта - "короткого замыкания", соответствующий исправному состоянию элемента, и "холостого хода", соответствующий его неисправному состоянию. Если перемычка находится в исправном состоянии, что случается с вероятностью p₅, то соединяемые ею узлы можно "стянуть" в смысле надежности (см. рис.2.1) и сеть будет иметь вид двух последовательно соединенных и параллельно включенных пар ветвей. Если перемычка находится в неработоспособном состоянии, что случается с вероятностью 1-p₅, то оставшаяся сеть будет иметь вид параллельного соединения цепочек.

Таким образом, мы "разложили" сеть относительно элемента 5, в результате чего получили две подсети с числом элементов на единицу меньше, чем в исходной сети. Поскольку обе подсети представляют собой последовательно-параллельные структуры, то, пользуясь формулами (2.3) и (2.4), можно сразу записать искомое выражение для вероятности связности сети относительно узлов r, l, используя для компактности обозначениеq_i=1-p_i.

H_rl=p₅ (1-q₁q₃) (1-q₂q₄) +q₅ [1- (1-q₁q₂) (1-q₃q₄)].

В более сложных структурах может потребоваться неоднократное применение теоремы разложения. Так, на рис.2.2 показано разложение относительно элемента 7 (верхняя строка), а затем по элементу 8 (нижняя строка). Получившиеся четыре подсети имеют последовательно-параллельные структуры и больше не требуют разложений. Легко видеть, что на каждом шаге число элементов в получающихся подсетях уменьшается на единицу а число подсетей, требующих дальнейшего рассмотрения удваивается. Поэтому описанный процесс в любом случае конечен, а число результирующих последовательно-параллельных структур составит 2^m, где т - число элементов, по которым пришлось провести разложение. Трудоемкость этого метода можно оценить величиной 2^m, что меньше трудоемкости полного перебора, но тем не менее все еще неприемлемо для расчета надежности реальных сетей коммутации.

Рисунок.2.2 Последовательное разложение сети

2.2.2 Метод сечений или совокупности путей

Рассмотрим еще один метод расчета структурной надежности сетей. Предположим, как и ранее, что необходимо определить вероятность связности сети между заданной парой узлов A,B. Критерием исправной работы сети в данном случае является наличие хотя бы одного пути передачи информации между рассматриваемыми узлами. Предположим, что имеется список возможных путей в виде перечня элементов (узлов и направлений связи), входящих в каждый путь. В общем случае пути будут зависимы, поскольку любой элемент может входить в несколько путей. Надежность R_s любого s-ro пути можно вычислить по формуле последовательного соединения R_s=p_1sp_2s…p_ts, где p_is-надежность i-го элемента s-ro пути.

Искомая надежность H_ABзависит от надежности каждого пути и вариантов их пересечений по общим элементам. Обозначим надежность, которая обеспечивается первыми r путями, через H_r. Добавление очередного (r+1) - го пути с надежностью R_r+1, очевидно, приведет к увеличению структурной надежности, которая теперь будет определяться объединением двух событий: исправен хотя бы один из первых rпутей или исправен (r+1) - й путь. Вероятность наступления этого объединенного события с учетом возможной зависимости. отказов (r+1) - го и остальных путей

H_r+i=H_r+R_r+i-R_r+1H_{r/ (r+1),} (2.10)

гдеH_{r/ (r+1) -} вероятность исправности хотя бы одного из первых r путей при условии, что исправен (r+1) - й путь.

Из определения условной вероятности H_{r/ (r+1)} следует, что при ее расчете вероятность исправной работы всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, необходимо положить равной единице. Для удобства дальнейших расчетов представим последний член выражения (2.10) в следующем виде:

R_r+1H_{r/ (r+1)} = R_r+1¤ H_r (2.11)

где символ (¤) означает, что при перемножении показатели надежности всех элементов, входящих в первые r путей и общих с (r+l) - м путем, заменяются единицей. С учетом (2.11) можно переписать (2.10):

∆H_r+1= R_r+1¤ Q_r (2.12)

где ∆H_r+1=H_r+1-H_r-приращение структурной надежности при введении (r+1) - го пути; Q_r=1 - H_r вероятность того, что произойдет одновременный отказ первых r путей.

Учитывая, что приращение надежности ∆H_r+1 численно равно уменьшению ненадежности ∆Q_r+1 получаем следующее уравнение в конечных разностях:

∆Q_r+1=R_r+1¤ Q_r (2.13)

Легко проверить, что решением уравнения (2.13) является функция

Q_r= (1-R₁) ¤ (1-R₂) ¤…¤ (1-R_r) (2.14)

В случае независимых путей операция символического умножения совпадает с обычным умножением и выражение (2.14) аналогично (2.4) дает коэффициент простоя системы, состоящей из параллельно включенных элементов. В общем случае необходимость учета общих элементов путей заставляет производить умножение согласно (2.14) в алгебраическом виде. При этом число членов в результирующей формуле с умножением на каждый очередной двучлен удваивается и окончательный результат будет иметь 2^r членов, что эквивалентно полному перебору совокупности всех r путей. Например, при r=10 число членов в окончательной формуле превысит 1000, что уже выходит за рамки ручного счета. С дальнейшим увеличением числа путей довольно быстро исчерпываются и возможности современных ЭВМ.

Однако свойства введенной выше операции символического умножения позволяют резко сократить трудоемкость расчетов. Рассмотрим эти свойства более подробно. Согласно операции символического умножения для показателя надежности p_i любого элемента справедливо следующее правило:

p_i¤p_i=p_i. (2.15)

Напомним, что второй сомножитель (2.15) имеет смысл вероятности исправной работы i-го элемента при условии его исправности, которая, очевидно, равна единице.

Для сокращения дальнейших выкладок введем следующее обозначение ненадежности i-го элемента:

=1-p_i (2.16)