Структурная надежность радиотехнических систем (стр. 4 из 10)
С учетом (2.15) и (2.16) можно записать следующие простые правила преобразования выражений, содержащих р и р:
pi¤
i=0 ¤ = pi¤pi 
=pi (2.17)
¤ 
= pipj¤
=pipj-pips -pi = Для примера использования этих правил при расчете надежности рассмотрим простейшую сеть связи, изображенную на. рис.2.3 Буквы, стоящие у ребер графа, обозначают показатели надежности соответствующих линий связи.
Узлы для простоты будем считать идеально надежными. Предположим, что для связи между узлами А и В можно использовать все пути, состоящие из трех и менее последовательно включенных линий, т.е. следует учесть подмножество путей{μ} = {ab, cdf, cgb, ahf}. Определим приращение надежности, обеспечиваемое каждым последующим путем, по формуле (2.12) с учетом (2.14):
∆Ηr+1=Rr+1¤ ( 
¤1 
¤…¤ 
) (2.18),
Рисунок.2.3 - Пример сети расчета на ограниченном подмножестве путей
Рисунок 2.4 - Пример сети для расчета надежности по полной совокупности путей, где Ri=1-R1 аналогично (2.16).
Применяя последовательно формулу (2.18) и правила символического умножения (2.17). к рассматриваемой сети, получаем
∆Η1=
;∆Η2=cdf¤ (
) =cdf* ;∆Η3=cgb¤ (
¤ 
) =cgb* * ;∆Η4=ahf¤ (
¤ 
¤ 
) =ahf* * .При расчете последнего приращения мы использовали правило 4, которое можно назвать правилом поглощения длинных цепей короткими; в данном случае его применение дает b¤cgb=b. Если разрешено использование других путей, например пути cdhb, то не представляет труда рассчитать обеспечиваемое им приращение надежности ∆H5=cdhb¤ (a¤ f¤ g¤ af) = =cdfb*a*f*g. Результирующую надежность сети можно теперь вычислить как сумму приращений, обеспечиваемых каждым из рассмотренных путей:
HR= 
∆Hi (2.19)
Так, для рассмотренного примера в предположении, что надежность. всех элементов сети одинакова, т.е. a=b=c=d=f=h=g=p, получаем H5=p2+p3 (1-p2) + +2p3 (1-p) (1-p2) +p4 (1-p) 3. При машинной реализации в основу расчета можно также положить формулу (2.13), с учетом того, что
Qr= 
∆Qi (2.20)
Согласно (2.13) имеем следующее рекуррентное соотношение
Qr+i=Qr-Rr+1¤Qr. (2.21)
При начальном условии Q0=l на каждом последующем шаге из полученного ранее выражения для Qr следует вычесть произведение надежности очередного (r+1) - го пути на это же выражение, в котором только показатели надежности всех элементов, входящих в (r+1) - й путь, нужно положить равными единице.
В качестве примера рассчитаем надежность сети, изображенной на рис.2.4, относительно узлов А и В, между которыми имеется 11 возможных путей передачи информации. Все расчеты сведены в табл.2.1: перечень элементов, входящих в каждый путь, результат умножения надежности данного пути на значение Qr, полученное при рассмотрении всех предыдущих путей, и результат упрощения содержимого третьего столбца по правилам (2.17). Окончательная формула для qABсодержится в последней колонке, если ее читать сверху вниз. В таблице полностью приведены все выкладки, необходимые для расчета структурной надежности рассматриваемой сети.
Таблица 2.1 Результаты расчета надежности сети, изображенной на рис.2.4
| Номерпути. | Rr+1 | Rr+1Qr | Qr+1 |
| 1 | ab | | |
| 2 | fgh |  | - |
| 3 | acd | acd*b* | acd* *  - |
| 4 | frb | frb* *gh | frb* * - |
| 5 | argh | argh ( *  -cd* * ) | argh * * - |
| 6 | acmh | acmh (b*  -d* * -rg * *  ) | acmh (fg-rg* ) - |
| 7 | frcd | frcd ( * *- *gh-b* * ) | frcd* * * - |
| 8 | fgmd | fgmd ( *  -ac* * -rb* * -rc* * * ) | fgmdh ( -ac* -rb* -rc* ) - |
| 9 | argmd | argmd [ *  -c* *  -h * *  - f ( -c )] | argmd * * * - |
| 10 | frcmh | frcmh ( *  -ad* * -b*  - a * *c-d* * * ) | frcmh* * * * - |
| 11 | fgmcd | fgmcd [ * -r* * -d* ( -r )] | fgmcd* * *  * |
Для уменьшения объема вычислений не следует без необходимости раскрывать скобки; если промежуточный результат допускает упрощения (приведение подобных членов, вынесение за скобку общего множителя и т.д.), их следует выполнить.