Теория оптимального приема сигналов (стр. 3 из 4)
то сигналы на выходе линии (входе приемника)
(5)Выходные сигналы (5) можно представить в виде двух составах со случайными амплитудами, но постоянными фазами:
(6)где а и Ь могут, в отличие от предыдущего случая, принимать и положительные и отрицательные значения.
Из (6) видно, что действие линии можно свести к появлению в точке приема двух составляющих сигнала: косинусоидальной и синусоидальной. Анализ этого случая, связанный с выполнением усреднения по обоим случайным параметрам а и Ь, довольно громоздок.
Приведем конечное выражение для решающего правила:
(7)Из него следует, что оптимальный приемник производит корреляцию принятой реализации у(t) с образцами обоих слагаемых сигнала. Возведение результатов в квадраты перед сложением и выбором максимума вызвано тем, что величины а и Ь могут быть как положительными, так и отрицательными.
Этот алгоритм можно реализовать и с помощью согласованных фильтров. Здесь содержатся детекторы огибающих выходных колебаний согласованных фильтров, после которых и производится отсчет. Физика процессов также ясна: если на вход согласованного с сигналом
фильтра подать сдвинутый по фазе сигнал, то в силу линейности фильтра произойдет запаздывание колебания и на выходе фильтра. Поэтому отсчет в момент t= TС не совпадет с максимумом напряжения. В силу случайности этого сдвига наилучшей стратегией оказывается отсчет огибающей, а не мгновенного значения колебания.Сравним случай приема сигналов при отсутствии случайной фазы (т. е. точно известных по форме сигналов) и при наличии случайной фазы. Первый случай принято называть когерентным, а второй — некогерентным приемом (именно этот случай чаще всего имеет место на практике).
(8)Сравнивая выражения для когерентного и некогерентного приема при одинаковом значении вероятности ошибки, можно установить, какой энергетический проигрыш дает применение некогерентного приема по сравнению с когерентным. Расчеты показывают, что для обеспечения
при некогерентном приеме требуется увеличение энергии сигнала на 15-30% по сравнению с когерентным, т. е. проигрыш невелик.В более общем случае неидеальность линии обусловливает случайные изменения амплитуды и фазы. Вероятность ошибок от этого увеличивается, так как независимо действуют оба рассмотренных фактора. Можно показать, что в этом случае вероятность ошибок при распознавании бинарных ортогональных сигналов равна
(9)где
- среднее значение энергии принимаемых сигналов.4 Оптимальный и квазиоптимальный прием непрерывных сигналов и его помехоустойчивость
Перейдем к рассмотрению особенностей оптимального приема при передаче непрерывных сообщений. В этом случае передаваемое сообщение х(t) может иметь очень большое (практически бесконечное) число возможных реализаций, каждая из которых представляет собой непрерывную функцию времени. Поэтому в геометрической интерпретации сообщениям и сигналам соответствуют не отдельные точки (или векторы с фиксированной длиной) в многомерных пространствах(как это было при передаче дискретных сообщений), а континуум линий сообщений и сигналов, описываемых концами векторов х и s. Исследования показывают, что в этой ситуации оптимальный прием связан с формированием на приемной стороне такого сигнала s(t), который бы обеспечивал максимум максиморум апостериорной плотности вероятности, определяемой выражением.
Применительно к каналу с гауссовским белым шумом и равновероятными сообщениями указанное условие сводится к минимизации величины
(1)Чтобы сформировать сигнал s(t), на приемной стороне нужно использовать принятое сообщение х(t), которое представляет собой результат обработки входной реализации у(t) приемником. Сообщение х(t) называют оценкой переданного сообщения х(t). Формирование сигнала s(t) представляет собой модуляцию несущей сигнала колебанием х(t) по тому же закону и с теми же параметрами, что и на передающей стороне.
Сформированный в приемнике сигнал s(t) используется при обработке входной реализации у(t) и последующем формировании оценки сообщения х(t), которая, в свою очередь, необходима для создания сигнала s(t). Нетрудно понять, что указанная процедура может быть выполнена только в устройстве следящего типа, с использованием обратной связи по формируемой оценке сообщения х(t).
В геометрической интерпретации минимизация выражения означает, что оптимальный приемник всегда относит входную текущую реализацию у к ближайшей линии сигналов и в соответствии с этим формирует на выходе оценку сообщения х(t). Из-за влияния шума оценка х(t) отличается от переданного сообщения х(t). Это отличие обычно характеризуют величиной среднеквадратической ошибки (см. л. 1.3). Оптимальный прием обеспечивает минимальное значение этой ошибки по сравнению с любым другим способом приема.
Теория оптимального приема непрерывных сообщений, часто называемая также теорией оптимальной демодуляции аналоговых видов модуляции, или теорией нелинейной фильтрации, представляет важный раздел общей теории связи, основы которой были заложены в работах А.Н. Колмогорова, В.А. Котельникова, Н. Винера, К. Шеннона и ряда других отечественных и зарубежных ученых.
Задачей приемного устройства являются извлечение переданного сообщения х(t) из входного колебания у(t). Однако из-за помех и искажений эта процедура не может быть выполнена точно, и восстановить сообщение на выходе приемника можно только приближенно. Такое приближенное сообщение называют оценкой и обозначают х(t).
Критерием близости х(t) и х(t) в теории и технике связи принята СКО, в соответствии с которой
(2)где скобки <.> означают операцию усреднения реализации по времени.
Оптимальный приемник непрерывных сообщений обеспечивает наименьшую возможную в заданных условиях величину СКО. Определим эту ошибку.
Основываясь на теории ортогональных разложений передачу любого непрерывного сообщения можно заменить передачей совокупности числовых коэффициентов (параметров). Пусть непрерывное сообщение х(t) представлено рядом
(3)При известной системе базисных функций передача сообщений x(t) эквивалентна передаче п значений коэффициентов
Следовательно, передаваемый сигнал можно рассматривать как функцию времени и коэффициентов , т. е. 
(4)Влияние помех приведет к тому, что каждый коэффициент
, будет принят с некоторой погрешностью. В результате оценка сообщения примет вид 
(5)где колебание
нужно рассматривать как помеху на выходе приемника.Если единственной причиной появления этой помехи является белый гауссовский шум на входе приемника, то нетрудно убедиться в том, что помеха
имеет нормальное распределение. В.А.Котельников показал, что в режиме надпорогового оптимального приема спектральная плотность такой помехи определяется выражением 
(6)Средний квадрат ошибки при оптимальном приеме непрерывных сообщений с учетом (2) можно найти по формуле
(7)Для выбранного (или заданного) вида модулированных сигналов помехоустойчивость оптимального приема будет наиболее высокой по сравнению с любым возможным реальным способом приема этих же сигналов. Поэтому такую помехоустойчивость часто называют потенциальной (предельно возможной для данного вида сигналов).
При анализе потенциальной помехоустойчивости полезно различать прямые виды модуляции, у которых передаваемое сообщение x(t) непосредственно входит в выражение для сигнала
и интегральные, у которых сигнал — функция интеграла от передаваемого сообщения, т.е. 
.Рассмотрим особенности расчета потенциальной помехоустойчивости для некоторых случаев.
Помехоустойчивость сигналов с амплитудной модуляцией. Пусть для передачи непрерывных сообщений используется АМ сигнал. В этом случае
(8) 
(9) 
(10)