Цифровая схемотехника (стр. 12 из 12)

V =

. (1.21)

Максимальное число последующих слагаемых в выражении (1.21) может быть равным 8 (в соответствии с коэффициентом объединения по входам), а каждое слагаемое может быть отображено конъюнкцией максимально от восьми аргументов. Таким образом, выражения (1.20) и (1.21) определяют логико-математическую модель микросхемы К155ЛР1.

Предлагаем Вам самостоятельно найти логико-математическую модель микросхемы К155ЛР3, используя для этого показанное на рис.1.16,г её условное графическое обозначение.

Логические элементы ИЛИ-И

Эти логические элементы реализуют фрагменты конъюнктивных нормальных форм (КНФ) булевых функций, то есть логическое произведение логических сумм от нескольких аргументов. Например, самым простым будет элемент 2-2ИЛИ-2И. Такой элемент описывается функцией вида

X = (a + b)(c + d). (1.22)

На рис.1.17 приведено УГО этого элемента, карта Карно его выходной функции X и функциональная эквивалентная схема.

В интегральном исполнении выпускаются подобные ЛЭ, например, в серии ИМС ЭСЛ есть микросхема К500ЛС118, представляющая собой два логических элемента 2-3ИЛИ-2И с одним общим входом. На рис.1.17,г показано УГО этой микросхемы. По условному её графическому обозначению можно составить следующие логические выражения выходных функций Yи Z:

Y = (x₁ + x₂ + x₃)(x₄ + x₅ + x₆), (1.23)

Z = (x₆ + x₇ + x₈)(x₉ + x₁₀ +x₁₁).

Выражения (1.23) являются логико-математической моделью рассматриваемой микросхемы. Наличие общего входа x₆ даёт возможность использовать микросхему К500ЛС118 в качестве двух независимых элементов вида 2-3ИЛИ-2И (при x₆=0),

либо в качестве двух независимых элементов 3ИЛИ (при x₆ =1). В этом легко убедиться, подставив соответствующие значения x₆ в выражения (1.23).

Логические элементы ИЛИ-НЕ / ИЛИ

По существу, эти элементы являются элементами ИЛИ с двумя выходами - прямым и инверсным. Поэтому они реализуют одновременно дизъюнкцию и инверсию дизъюнкции от одного и того же множества входных сигналов и описываются одноимёнными логическими функциями. Так на рис.1.18,а показано УГО элемента 3ИЛИ-НЕ / 3ИЛИ и условные графические обозначения микросхем серии К500, содержащих подобные логические элементы. На рисунке также приведены карты Карно выходных функций указанного элемента, функциональная эквивалентная его схема (рис.1.18,б) и УГО микросхем К500ЛМ105 (рис.18,д), К500ЛМ109 (рис.1.18,е) и К500ЛМ101 (рис.1.18,ж). Следует отметить, приведённый вариант функциональной схемы не единственный - вместо элемента 3ИЛИ-НЕ может быть использован элемент 3ИЛИ и также элемент НЕ. По условным графическим обозначениям перечисленных микросхем нетрудно уяснить, что ИМС К500ЛМ105 содержит три независимых элемента: два элемента 2ИЛИ-НЕ/ 2ИЛИ и один элемент 3ИЛИ-НЕ /3ИЛИ.

Аналогично можно уяснить состав микросхемы К500ЛМ109

(рис.1.18,е).

Обратите внимание на УГО микросхемы К500ЛМ101(рис.1.18,ж). Микросхема содержит 4 однотипных элементов типа 2ИЛИ-НЕ /2ИЛИ с раздельными выходами и с одним общим входом х₅. Если сигнал по этому входу х₅ = 0, то микросхему можно рассматривать как набор из 4-х элементов НЕ и, в то же самое время, как набор из четырёх повторителей сигналов по входам х₁, х₂, х₃ и х₄. Если же х₅ = 1, то независимо от значений других входных сигналов на прямых выходах установятся сигналы лог.1, а на инверсных выходах сигналы лог.0. Таким образом, каждый элемент в микросхеме играет роль управляемого инвертора-повторителя.

Дополнительно отметим, что в серии К500 имеются логические элементы вида ИЛИ-И-НЕ/ИЛИ-И, например микросхема К500ЛК117. Это - практически, аналог микросхемы К500ЛС118 (рис.1.17,г) с тем отличием, что каждый элемент 2-2ИЛИ-2И имеет прямой и инверсный выходы.

Мы рассмотрели практически все широко используемые при построении цифровых устройств логические элементы. Анализируя изложенный материал, можно придти к следующим выводам:

1. Существует возможность однозначного переходаотаналитического описания ЛЭ к его условному графическому обозначению либо к функциональной эквивалентной его схеме.

2. Существует возможность однозначного перехода от УГО элемента либо от его функциональной схемы к аналитическому его описанию. При этом функционирование элемента описывается алгебраическими выражениями логических функций, реализуемых элементом.

3. Функциональные схемы сложных ЛЭ можно построить на различных более простых (менее сложных) логических элементах, причём существует неоднозначность (многовариантность) построения функциональных эквивалентных схем для одного и того же ЛЭ.

Поскольку логические устройства по существу представляют собой совокупность взаимосвязанных логических элементов, то сформулированные выводы можно с успехом распространить и на устройства.

Вместе с тем возникает проблема, - каким образом можно построить устройствос минимальным количеством ЛЭ и на элементах минимальной номенклатуры. Другими словами, как построить устройство с минимальными аппаратурными затратами.

Решение этой проблемы основывается на знании функционально полных наборов логических элементов и выборе по определённым критериям соответствующего набора.

1.3.15. Функционально полные наборы логических элементов

Функционально полным называется такой набор ЛЭ, на которых (из которых) можно построить любое логическое устройство сколь сложно оно ни было бы. Функциональная полнота некоторого набора логических элементов, в свою очередь, определяется полнотой некоторой системы логических функций, которые являются логико-математическими моделями выбранного набора ЛЭ.

В булевой алгебре существует теорема Поста-Яблонского, согласно которой устанавливаются критерии полноты некоторой системы логических функций. Сущность этой теоремы сводится к следующему.

Некоторая система логических функций будет полной, если она содержит:

а) функцию, не сохраняющую логическую константу 0,

f(x₁, x₂, ¼x_n) = f(0, 0, ¼0) ¹ 0;

б)функцию, не сохраняющую логическую константу 1,

f(x₁, x₂, ¼x_n) = f(1, 1, ¼1) ¹ 1;

в) функцию, не являющуюся самодвойственной,

¹ ;

г) функцию, не являющуюся линейной,

f(x₁, x₂, ¼x_n) ¹х₁Åх₂żÅх_nÅх₁ х₂żÅх₁х₂¼x_n;

д) функцию, не являющуюся монотонной.

Если Х₁ есть некоторый фиксированный набор значений аргументов функции f (x₁,x₂,x_3,x₄), например Х₁ = <x₁, x₂, x_3, x₄> = <1,1,0,1>, а Х₂ = <x₁, x₂, x_3, x₄> = <0,0,0,1> - другой набор этих аргументов, то можно считать, что Х₁ > Х₂, т.е. набор Х₂ меньше набора Х₁.