Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон (стр. 3 из 4)

Валентные электроны изолированного атома кремния образуют один уровень 3s и три уровня 3p. В невозбуждённом состоянии четыре валентных электрона занимают, очевидно, один уровень 3s и один уровень 3p с учетом принципа Паули.

При образовании кристалла кремния четыре энергетических уровня расцепляются в четыре зоны. Три из них перекрывают друг друга, образуя валентную зону, содержащую 6N состояний. Четвертая зона, содержащая 2N состояний, отделена от валентной зоны и является зоной проводимости. В валентной зоне при переходе электрона в зону проводимости среди электронов образуется вакантное место. Это вакантное место обычно называют дыркой. Дырка как носитель заряда проявляется лишь при ковалентной связи между атомами в кристалле. Далее мы рассмотрим это более подробно. А теперь перейдём к зонной структуре твёрдых тел.

Если зона проводимости отделена от валентной зоны запрещённой зоной, то заполнение зоны проводимости может произойти только тогда, когда электроны валентной зоны получают дополнительную энергию, необходимую для преодоления энергетического барьера, равного ширине запрещённой зоны. Известны четыре типа зонной структуры твёрдых тел.

Тип 1. Такая зонная структура наблюдается у металлов. На внешней валентной оболочке у таких металлов находятся электроны, в то время как полностью заполненная внешняя оболочка должна иметь минимум два электрона, максимум 6. В этом случае валентная зона заполнена только наполовину. При действии электрического поля на такой кристалл электроны получают дополнительную энергию и переходят на более высокие энергетические уровни. Как видно из рис. 5а, во всех глубоко лежащих зонах этот процесс невозможен, так как в них все уровни полностью заполнены электронами. Так как в этом случае валентная зона заполнена лишь частично, то в ней переходы электронов будут происходить беспрепятственно. В таком кристалле под действием электрического поля прохождение электрического тока будет иметь место при любой температуре. Таким образом, для одновалентных металлов электропроводность практически не изменяется при изменении температуры.

ТипII. Зонная структура ряда твердых тел может характеризоваться следующим образом. У этих материалов валентная зона заполнена полностью, но запрещенная зона между валентной зоной и зоной проводимости отсутствует. (Рис. 5б).

Такие твердые тела обладают хорошей электропроводностью, которая слабо изменяется с изменением температуры. Этот тип зонной структуры соответствует металлическому состоянию. В отдельных атомах, из которых образовано данное твердое тело, валентные уровни заполнены полностью. Особенностью, отличающей данный тип зонной структуры является то, что ближайшие к валентным уровни отстоят от последнего на очень набольшие расстояния и при сближении атомов при образовании твердого тела валентная зона и зона проводимости оказываются взаимно перекрытыми.

Тип III и тип IV. Зонную структуру этих типов (Рис. 5 в, г ) будем рассматривать совместно, так как с физической точки зрения качественного отличия между ними нет. Они отличаются друг от друга только количественно. Но тем не менее количественные отличия столь существенны, что проводимости на два класса: полупроводников и диэлектриков.

В этих случаях валентная зона заполнена полностью и не перекрывается с зоной проводимости. В твердых телах, обладающих такой зонной структурой, перемещение электронов под действием электрического поля не происходит до тех пор, пока в результате возбуждения часть электронов из валентной зоны не будет переведена в зону проводимости. Электропроводность твердых тел, имеющих зонную структуру таких типов, оказывается сильно зависящей от температуры и с увеличением температуры возрастает.

Типы III и IV отличаются друг от друга шириной запрещенной зоны. Естественно, что для преодоления запрещенной зоны, имеющей большую ширину необходима более высокая температура. Твердые тела, у которых электропроводность наблюдается при очень высоких температурах, относят к диэлектрикам. Диэлектрики характеризуются шириной запрещенной зоны 2 эВ и выше. Все материалы, имеющие запрещенную зону меньшей ширины, считаются полупроводниками. Все глубокие зоны, лежащие ниже валентной можно исключить из рассмотрения, так как их электроны не участвуют в прохождении электрического тока твердых телах, в слабых и средних электрических полях.

Газ свободных электронов

Состояния, которые может занимать электрон в твердом теле, описываются уравнение Шредингера:

(1)

Решением этого уравнения является функция Блоха:

Соотношения между энергией и волновым числом в одномерной периодической решетке:

представление расширенной зоны распределения:

Функция распределения Ферми-Диракса при нулевой и ненулевой температуре.

-между энергией Ферми и химическим потенциалом существует очень маленькое различие.

Поверхности с последовательно возрастающими значениями энергии в первой зоне Бриллюэна (Поверхность Ферми)

Волновые функции электронов проводимости должны быть ортогональны функциям состояний остова атома. (Принцип Паули… в противном случае состояния проводимости начнут заполнять занятые состояния остова атома… см. Блоха)

Если в (1) V(r)=0 то решением (1) будет :

(1).

Собственные значения энергии будут

(2). Поэтому все энергетические поверхности в k-пространстве являются сферами. Поверхность Ферми: (3).

(4).

В k–пространстве интервал энергии

соответствует сферической оболочке . Плотность состояний в k–пространстве и с учетом принципа Паули: , а в объеме :

(5)

Учитывая равенство

после подстановки (2) в (5) получаем: (6)

Если умножить плотность состояний (6) на вероятность занятости уровней (функция Ферми-Диракса) при Т=0 и проинтегрировать вплоть до энергии Ферми

, то в результате получим число электронов в зоне проводимости на единицу объема. Таким образом можно выразить энергию Ферми следующим образом : (7)

Удобно выразить скорость на поверхности Ферми через число валентных электронов, и испрользуя (3), (4) и (7), в результате получим:

(8)

Металлы, полупроводники, диэлектрики

Атомы газов могут рассматриваться как, изолированные, так как они находятся на сравнительно больших расстояниях друг от друга. При атмосферном давлении и комнатных температурах эти рассеяния примерно в 100 раз превышают диаметр атома и атомы практически не взаимодействуют друг с другом.

Однако оптические спектры газовых молекул, состоящих из двух или более плотно упакованных атомов, содержат большее число линий, чем спектры простых атомов, так как взаимодействие атомов в молекуле приводит к значительному увеличению числа энергетических уровней.

При газовом разряде, происходящем при высоком давлении (например, в ртутных лампах высокого давления), вследствие такого рода обменного взаимодействия возникает практически непрерывный спектр излучения. По этой же причине можно ожидать, что спектр твердых тел будет содержать большое число линий, так как в твердом теле отдельные атомы отстоят друг от друга в кристаллической решетке на расстоянии, равном всего нескольким диаметрам атома. Это же является причиной сильной электрической связи между атомами твердого тела.