Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон (стр. 1 из 4)

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра ЭТТ

РЕФЕРАТ

На тему:

«Модель Кронинга-Пенни. Структура энергетических зон»

МИНСК, 2008

Модель Кронига-Пенни.

d=a+b

E<

В модели Кронига-Пенни рассматривается движение электронов в линейной цепочке прямоугольных потенциальных ям. Амплитудное уравнение Шредингера для движения в таком поле имеет вид:

Как показал Блох, решением этого уравнения является волновая функция такого типа:

Она представляет собой произведение уравнения плоской бегущей волны

, описывающей движение свободного электрона в поле с постоянным потенциалом, на периодическую функцию U(x), зависящую от волнового числа k и имеющую тот же период, что и период потенциала U(x) – период решетки d.

Для областей I(U=0) и областей II(U=

) получаем:

;

;

В области потенциального барьера волновой вектор принимает мнимое значение

, а за пределами барьера при =0 действительное α, А. В, С, Д- постоянные коэффициенты.

С помощью функции Блоха

найдем вид функции U(x) для областей I и II:

Определить А, В, С, D можно с учётом того, что функция u(x) и её первая производная являются непрерывными в местах скачка потенциала

( с U₁=0 до U₂=U₀ )

И обладает свойствами периодичности с периодам равным d=a+b

.

Решая систему из четырёх уравнений при условии

и что определитель равен 0 получаем:

Использование этих условий позволяет определить не только А, В, С, D, но установить связь между

и . Введём дополнительные упрощения и будем считать, что ширина барьера , а высота так что произведение bU=const.

Для бесконечно тонкого и бесконечно высокого барьера получаем:

, где .

Это уравнение выражает зависимость энергии электрона E, входящей в переменную

от волнового вектора для барьеров различной прозрачности Р.

Так как

изменяется в пределах от (+I) до (-I) то может принимать только такие значения при которых: .

В соответствии с формулой:

заштрихованные участки определяют область разрешенных энергий электрона – энергетические зоны.

Эти зоны отделены друг от друга полосами запрещенных энергии - запрещенными зонами. Им отвечают области значений

, в которых, в которых должна была бы быть больше +I или меньше -I, что запрещено выражением .

С увеличением энергии электрона ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается.

Ширина зон зависит также от параметра Р. При

разрешенные зоны сужаются, превращаясь в дискретные уровни, соответствующие где т.е. к значениям, соответствующим изолированной потенциальной яме. При , наоборот, исчезают запрещенные зоны и электрон становится свободным.

Выразим Е с помощью

Рассмотрим зависимость энергии электрона от волнового вектора

. Штрихпунктирная линия изображает зависимость Е( ) для свободного электрона.

Внутри каждой зоны энергии электрона непрерывно растет с ростом волнового вектора. При значениях:

энергия претерпевает разрыв, приводящий к образованию запрещенных зон.

Мы получим формулу Вульфа-Бреггa, выражающую условие отражения волн от плоской решетки для случая, когда угол падения равен 90°. Разрывы в энергетическом спектре электрона в кристалле происходят при выполнении условия Брегговского отражения электронных волн от плоскости решетки. Электроны с такой длиной волны претерпевают в кристалле полное внутреннее отражение и распространяться в кристалле не могут.

Пусть на решетку действуют лучи с длиной волны λ. Лучи, отраженные от атомных плоскостей, интерферируют между собой и

усиливают или ослабляют друг друга.

Усиление происходит в том случае, если разность хода лучей отраженных от соседних атомных плоскостей, будет целократна длине волны. Разности хода лучей

Поэтому условие усиления запишется:

Лучи падающие на атомные плоскости под углом, удовлетворяющим этому условию, полностью отражаются и через решетку пройти не могут. При

мы получаем:

В случае связанного электрона при значениях волнового вектора кратных π/a энергия терпит разрыв. С увеличением силы связи электрона высота разрывов становится больше.

Зоны Бриллюэна.

При изменении волнового вектора отО до ± 2(π/a), энергия растет при k = π/a непрерывно, она претерпевает первый разрыв. При дальнейшем увеличении kэнергия снова растет непрерывно, пока при k = ±2(π/a) не испытает второго разрыва и т.д.

Области значений k , в пределах которых энергия электрона изменяется непрерывно, а на границах претерпевает разрыв, называются зонами Бриллюэна.

Зона I для линейной модели кристалла простирается от - π /a до +π/a, зона II- от -2(π/a) до -π /a и от +π /a до +2(π /a) и имеет протяженность равную 2(π/a). Все зоны Бриллюэна имеют одну и туже протяженность равную 2(π/a).

Понятие зон Бриллюэна распространяется и на случай двух- и трехмерных решеток. В пределах каждой зоны энергия электрона изменяется непрерывно с изменением волнового вектора, на границах зон она претерпевает разрыв. Утверждения о равенстве всех зон Бриллюэна справедливо для двух- и трехмерных случаев.

Теперь об обратной решетке. Всякой пространственной решетке может быть противопоставлена обратная решетка. Обратная решетка обладает теми же геометрическими свойствами, что и прямая. В основе обратной решетки лежит элеметарная ячейка, образуемая тремя независимыми базисными векторами b1; b2 .

Параллельным переносом элементарной ячейки (трансляцией) можно получить всю обратную решетку. Все узлы обратной решетки могут быть описаны вектором: