Обозначим через
- вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:
= = , i {1,2,…, N}Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети.
Теорема. Стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений:
P(
)=P( ) A( ; ) (1)где А -
матрица вероятностей переходов из i-того периодического класса в состояние (i+1) – го класса, элементы которой вычисляются по формуле:a(
)= + + , времена вычисляются по следующим формулам:а также вероятность перехода равна нулю, если:
1)
>0 , Q={1,2,3,…, N}2)
Доказательство:
P(
) – вектор-строка вероятностей состояний i-того периодического класса; матрица А размерности , элементами которой являются вероятности переходов из i-того периодического класса в (i+1) – ый.Вследствие периодичности цепи Маркова
если либо (i, j) (N, 1). Из этих рассуждений имеем Р(1)=Р(N)Р(J)=P(J-1)
J {2,3,…, N}, J определяет периодический класс.J определяет те, станции на которых находятся маркеры в данном периодическом классе, с учетом постановки математической модели любой маркер может переходить только на соседнюю станцию. Это и обуславливает то, что маркер с N-ной станции переходит на первую АС.
Таким образом, учитывая условие нормировки, имеем процедуру (1) определения векторов стационарных вероятностей КЛВС.
Доказано.
Для обоснования правильности формул времени необходимо учитывать следующие положения:
1) если поступает сообщение, а соответствующий буфер занят полностью, то сообщение теряется, и при подсчете поступивших сообщений оно не учитывается;
2) если сообщение не передается, то из данного буфера оно никуда не может исчезнуть, поэтому если при переходе из некоторого состояния в соседнее какое-то сообщение теряется, то вероятность данного перехода равна 0;
3) при передаче сообщения из АС, на которой есть маркер, буфер данной станции блокируется;
4) со станции с маркером может передаваться не более одного сообщения.
5) на тех станциях, на которых нет маркеров, может быть вероятность равна единице в том случае, если в i-том периодическом классе и в (i+1) – вом буфер станции был полностью занят.
2.2
Определение стационарных вероятностей состояний многомаркерной, несимметричной КЛВС с буферами , с 3 АС и 2-мя маркерами, с ординарной дисциплиной обслуживанияБудем рассматривать поведение КЛВС в моменты поступления маркеров на АС. В этом случае изменение состояний КЛВС образуют конечную цепь Маркова.
Под состоянием КЛВС будем понимать состояние всех АС кольца в момент поступления на них маркеров. Каждая АС может находиться всегда в одном из
состоянии.Все состояния КЛВС делятся на 3 периодических классов, каждый из которых содержит в рассматриваемом случае 12 состояний.
Особенности протокола приводят к тому, что указанная цепь Маркова является неприводимой, периодической с периодом, равным 3.
Некоторый j-тый класс (j
{1,2,3}) соответствует поступлению некоторого фиксированного маркера на j-тую АС. Вероятности переходов из j-того периодического класса в (j+1) – ый образуют матрицу.Закодируем состояния КЛВС парами чисел (i, r), i=(
), 0 11. Здесь i определяет класс состояний, т.е. равно номерам тех станций, на которых находятся маркера, r определяет номер состояния.Введем обозначение M=(
) – множество номеров тех станций, на которых находятся маркера, R=( ), , l {1,2,3}, - обозначает количество сообщений на l-той АС. Также обозначим через P( ) – вектор-строку вероятностей состояний КЛВС.Обозначим через
- вероятность того, что за время на i-тую АС не поступит ни одного сообщения; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m сообщений; - вероятность того, что за время на i-тую АС поступит m и более сообщений.Так как поток сообщений пуассоновский, то имеем:
= = , i {1,2,3}Изучая поведение КЛВС во вложенные Марковские моменты, получим следующую процедуру определения стационарных вероятностей сети, которая является частным случаем теоремы из пункта 2.1: стационарные вероятности рассматриваемой КЛВС вычисляются из соотношений: