Наряду с векторами, для описания поля применяют скалярные величины:
1) потенциал электрического поля
где
- потенциальная энергия заряда q в электрическом поле;2) магнитный поток
, Веб,где интеграл от скалярного произведения векторов
и берётся по замкнутой поверхности S.1.2 Уравнения Максвелла
Теория электромагнитного поля основана на уравнениях Максвелла, которые он сформулировал в «Трактате по электричеству и магнетизму», опубликованном в 1873 г.
При выводе уравнений электромагнитного поля Максвелл использовал результаты исследований статических (т.е. постоянных во времени) электрического и магнитного полей (см. Приложение 1). Известные уравнения статических полей Максвелл развил применительно к переменному электромагнитному полю, благодаря двум идеям (Приложение 2):
1) возникновение замкнутых силовых линий напряженности электрического поля
вокруг линий магнитной индукции при условии, что величина B меняется со временем (это следует из закона электромагнитной индукции Фарадея);2) введению понятия «плотность тока смещения»
,Отсюда следует, что замкнутые линии вектора магнитной индукции
возникают не только вокруг вектора плотности тока проводимости (т.е. вокруг траектории движущихся электрических зарядов), но и вокруг силовых линий , если E меняется во времени.Число уравнений Максвелла было сокращено Г.Герцем и О.Хевисайдом, по сравнению с тем, что было написано в трактате, они привели их к современному компактному виду. В настоящее время принята следующая запись уравнений Максвелла..
Дифференциальная формаИнтегральная форма
; ; ; ;Здесь Iпр - ток проводимости:
,где в правой части – интеграл по замкнутой поверхности S от скалярного произведения векторов
и ; ρ - плотность электрического заряда q: .Ротор и дивергенция векторов
Ротор вектора
– это вектор, который в декартовой системе координат может быть записан в виде определителя: ,где
, , - векторы величиной 1, направленные по осям x, y, z; Hx, Hy, Hz - проекции вектора на оси координат.Дивергенция вектора
– это скалярная величина, вычисляемая в декартовой системе координат по формулегде
, , – проекции вектора на соответствующие оси.Геометрический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной форме следующий. Ротор вектора – это ось, вокруг которой закручиваются замкнутые линии соответствующего поля. Из первого уравнения Максвелла следует, что такой осью для магнитного поля являются линии плотности тока проводимости
или линии напряженности электрического поля , если E меняется со временем.Осью возникающих замкнутых линий электрического поля
являются силовые линии магнитного поля , при условии, что H зависит от времени. Это следует из второго уравнения Максвелла.Дивергенция вектора – это точка в пространстве, откуда начинаются незамкнутые силовые линии поля. Как видно из третьего уравнения Максвелла, незамкнутые силовые линии напряженности электрического поля
начинаются в точках, где есть электрические заряды. Из четвертого уравнения Максвелла следует, что незамкнутых линий напряженности магнитного поля не существует.Решая уравнения Максвелла в различных средах, можем найти 6 проекций векторов
и : , , , , , .1.3 Радиоволны в идеальном диэлектрике без зарядов
Идеальный диэлектрик – такой диэлектрик, в котором нет токов, т.е. в соответствии с (1.1), проводимость g=0. Если для упрощения решения принять, что в диэлектрике нет зарядов, т.е. q =0 (или ρ = 0), а электромагнитное поле меняется только вдоль одной координаты z, в то время, как
, ,то решение уравнений Максвелла приводит к волновым уравнениям для 2 – х проекций векторов напряженности
и , сдвинутых в пространстве на 90o; например, для проекций и - см. Приложение 3: (1.2,а). (1.2,б).Решением уравнений (1.2) являются волновые функции
, и , , где и - прямые волны, распространяющиеся вдоль оси z, а и - обратные волны, бегущие в противоположном направлении. В полученных решениях применено обозначение (1.3)Параметр v имеет размерность м/с и является скоростью распространения волны. Для вакуума
, и v = c = 3*108 м/с. В любой среде, где и , скорость электромагнитной волны (1.4)