Визначення динамічних похибок вимірювань (стр. 2 из 3)

(1.11)

Поправлення – значення фізичної величини, яке додається до результату вимірювання, щоб виключити систематичну похибку. Поправлення підсумовують із значенням міри, показом вимірювального приладу тощо. Іноді замість поправлення значення фізичної величини користуються поправляльним множником

, на який перемножують виміряну фізичну величину , з метою вилучення з неї систематичної похибки, тобто для виконання умов

(1.12)

Сукупними характеристиками точності і правильності вимірювань є їх відтворюваність і збіжність. Відтворюваність вимірювань – це близькість результатів вимірювань сталої фізичної величини отриманих у різних умовах, різними методами, засобами вимірювань, експериментаторами незалежно від місця та часу їх здійснення, тобто нерівноточних вимірювань, в яких систематична складова їх похибки стає випадковою. Збіжністю вимірювань називають їх відтворюваність в однакових умовах (рівноточні вимірювання). Збіжність результатів вимірювань відображає близькість до нуля випадкової похибки вимірювань. Збіжність може бути оцінена кількісно дисперсією результатів вимірювання.

Виділяють ще термін роздільної (подільної) здатності засобу вимірювальної техніки як кількості вірогідно розрізнюваних значень вимірюваної фізичної величини, які вписуються в зону їх невизначеності в процесі вимірювань. Для такого означення терміну роздільної здатності засобу вимірювальної техніки визначають також ступінь вірогідності, з якою встановлюється ширина зони невизначеності

похибок результатів вимірювань (рисунок 1.1), тобто значення гарантійної ймовірності , з якою визначають ці похибки. Зону невизначеності знаходять для сумарної похибки чи гарантійної похибки для заданого значення надійності .

Рисунок 1.1 – Графічна інтерпретація роздільної здатності

Роздільна здатність вимірювань є теоретичною характеристикою, що залежить від точності та діапазону вимірювань.

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

Динамічне рівняння пов’язує вихідну величину

засобу вимірювання із вхідною в динамічному режимі роботи. При його складанні в праву частину рівняння записують вхідний сигнал (причину, що привела засіб вимірювання в дію), а в ліву – вихідний сигнал (реакцію засобу вимірювання). В загальному вигляді диференціальне рівняння має вигляд:

(2.1)

В операторній формі

(2.2)

(2.3)

Диференціальне рівняння динамічної системи є вичерпною її характеристикою, але його коефіцієнти важко піддаються експериментальному визначенню. Тому як характеристики перетворення в часовій області використовуються імпульсна перехідна (вагова)

та перехідна функції.

Імпульсна функція

є відгуком (реакцією) динамічної системи на вхідне збурення у вигляді -функції, яка за визначенням має властивості

(2.4)

(2.5)

Перехідна функція

. (2.6)

є відгуком динамічної системи на вхідну дію у вигляді одиничної функції

, похідна якої

(2.7)

З характеристиками перетворення у часовій області однозначно пов’язані характеристики перетворення в частотній області, що є наслідком дуальності часу і частоти.

Усталена реакція на синусоїдний вхідний сигнал у загальному випадку є складною функцією параметрів засобу вимірювальної техніки і описується відповідними амплітудно-частотною та фазочастотною характеристиками, які можуть бути одержані з диференціального рівняння в результаті нижчеподаних математичних дій.

Застосувавши до диференціального рівняння при початкових нульових умовах перетворення Лапласа, одержимо передаточну функцію

(2.8)

де

- оператор Лапласа, та - зображення за Лапласом відповідно вихідної та вхідної величин.

Заміна оператора Лапласа в передаточній функції на

дає комплексну частотну характеристику

(2.9)

Комплексна частотна характеристика є вихідною для визначення амплітудно-частотної

(2.10)

(2.11)

Згідно індивідуального завдання необхідно знайти розв’язок диференціального рівняння другого порядку

, (2.12)

. (2.13)

Підставимо (2.13) в (2.12) і отримаємо:

. (2.14)

Розв’язком даного рівняння буде функція

, (2.15)

графічне зображення якої подано на рисунку 2.1.

Рисунок 2.1 – Графічне представлення розв’язку диференціального рівняння

Для знаходження перехідної характеристики підставимо в (2.12) як вхідний сигнал

:

. (2.16)

Отримаємо розв’язок:

. (2.17)

Графічно перехідна характеристика зображена на рисунку 2.2.

Рисунок 2.2 – Перехідна характеристика

Для знаходження імпульсної характеристики підставимо в (2.12) як вхідний сигнал

:

. (2.18)

Отримаємо розв’язок:

(2.19)

Графічно імпульсна характеристика зображена на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 – Імпульсна характеристика

Знайдемо передатну функцію заданого диференціального рівняння

. (2.20)

Замінимо оператор Лапласа в передатній функції на

та отримаємо комплексну частотну характеристику

. (2.21)

Виділимо дійсну та уявну частини в знаменнику:

. (2.22)

Помножимо чисельник та знаменник дробу на вираз, комплексно спряжений до знаменника, для того, щоб позбутись ірраціональності в знаменнику. В результаті отримаємо

. (2.23)

З даного виразу маємо дійсну

(2.24)

. (2.25)