Виконання операцій множення і ділення у двійковій системі числення (стр. 6 из 9)

Аналіз чотирьох двійкових розрядів одночасно дає можливість одразу здійснити зсув на чотири розряди.

Таблиця 3.16 - Дії, що виконуються в залежності від цифр множника

Тетрада, що аналізується	Значення попередньої цифри		Тетрада, що аналізується	Значення попередньої цифри
	8	<8		8	<8
0 0 0 0	+А	0	1 0 0 0	- (6А+А)	+(6А+2А)
0 0 0 1	+2А	+А	1 0 0 1	- 6А	- (6А+А)
0 0 1 0	+3А	+2А	1 0 1 0	- (3А+2А)	- 6А
0 0 1 1	+(2А+2А)	+3А	1 0 1 1	- (2А+2А)	- (3А+2А)
0 1 0 0	+(3А+2А)	+(2А+2А)	1 1 0 0	- 3А	- (2А+2А)
0 1 0 1	+6А	+(3А+2А)	1 1 0 1	- 2А	- 3А
0 1 1 0	+(6А+А)	+6А	1 1 1 0	- А	- 2А
0 1 1 1	+(6А+2А)	+(6А+А)	1 1 1 1	0	- А

2. Метод множення з аналізом довільної кількості розрядiв множнику. Ідея методу полягає у виявленні послідовностей нулів і одиниць з наступної груповою обробкою розрядів множнику. Якщо виявляється група вигляду

, то виконується одразу зсув на k-1 розрядів і додавання множеного. Якщо аналізується група вигляду , то здійснюється зсув одразу на k-1 розрядів і віднімається множене. Коли аналізується група розрядів вигляду , то виконується її перетворення в нову групу вигляду . Код цієї групи показує, що спочатку виконується віднімання множеного, а потім зсув одразу на k-1 розрядів.

Такий метод прискорення операції множення вимагає створення пристрою для зсуву кодів на довільну кількість розрядів.

3. Метод множення з розбиттям множника на частини передбачає одночасне виконання множення числа А на окремі частини числа В з наступним додаванням отриманих результатів.

Множник В можна розбити на будь-яку кількість частин, але найефективнішим, з точки зору комплексної оцінки апаратних і часових витрат, є розбиття на дві частини. Для цього випадку обчислення описуються такою формулою:

.

Якщо множення на частини виконується за першим і другим методами, то час множення дорівнює:

.

4. Метод множення з використанням таблиць квадратів чисел базується на тотожності:

.

За значеннями суми і різниці співмножників з таблиці квадратів чисел зчитуються числа

і , а потім остаточний добуток формується шляхом виконання операції віднімання .

Різновид цього методу множення описується тотожністю

.

Практично даний метод і його різновид дозволяють прискорити виконання операції множення чисел тільки невеликої розрядності (8 або 16 розрядів), тому що зі збільшенням розрядності чисел складність таблиці значно зростає.

4. Метод множення з запам’ятовуванням проміжних перенесень.

Час множення можна скоротити шляхом зменшення тривалості кожного додавання за рахунок виключення з нього часу, що витрачається на розповсюдження перенесень. Суть цього методу прискорення полягає в тому, що весь процес одержання добутку виконується додаванням без розповсюдження перенесень з одночасним їх запам'ятовуванням і однократним розповсюдженням перенесень на заключному етапі множення. При цьому в кожному циклі множення додаються порозрядно три числа: черговий частковий добуток, проміжна сума часткових добутків і проміжні перенесення, що утворені в попередньому циклі множення. При цьому перенесення, що отримані в попередньому циклі, повинні запам'ятовуватися до початку наступного циклу.

Приклад 3.14. Помножити числа А = 0, 10110 і В = 0, 11011, використовуючи метод множення з запам’ятовуванням проміжних перенесень.

Розв'язання. Для даних чисел маємо:

=0; = 0, 10110; =0; = 0, 11011. Визначаємо знак добутку: =0 0=0.

Дії, що виконуються в процесі множення, наведені в табл. 3.17. Тут S - проміжна сума часткових добутків, P - проміжні перенесення.

Таблиця 3. 17 - Приклад множення з запам’ятовуванням перенесень

Для остаточних кодів S і P виконується додавання з розповсюдженням перенесення:

Відповідь: С= 0,1001010010.

До апаратних методів прискорення операції множення другого порядку відносяться матричні методи множення.

Коли множене і множник розташовані в регістрах машини, можна утворити відразу всі часткові добутки і здійснити їх одночасне додавання, використовуючи певну кількість суматорів. Узагальнена структура пристрою, що реалізує таке множення (рис. 3.6), містить: регістри РгА і РгВ, в яких зберігаються множене і множник, відповідно; блок елементів І, що забезпечує формування всіх часткових добутків; блок суматорів, у якому здійснюється одночасне додавання всіх часткових добутків.

Матричні методи множення відрізняються саме організацією одночасного додавання.

Рис. 3.6. Узагальнена структура пристрою, що реалізує матричний метод множення

Існує ряд методів множення, що засновані на додаванні груп часткових добутків з наступним об'єднанням сум разом з перенесеннями для одержання добутку. Наприклад, часткові добутки групуються по три і додаються із запам'ятовуванням перенесень за допомогою ланцюжка суматорів На кінці ланцюжка здійснюється додавання з розповсюдженням перенесень. Така роздільна обробка проміжних сум і перенесень вимагає так називаного "дерева суматорів" (рис. 3.7).

Реалізація матричних методів виконання операції множення вимагає більшої кількості апаратури, ніж методів послідовного аналізу розрядів або груп розрядів множника, і дає більший виграш у часі. Однак у зв'язку зі значним розвитком мікроелектроніки обмеження щодо кількості апаратури стають усе менш суворими, тому матричні методи широко застосовують на практиці.

Рис. 3.7. Дерево суматорів

3.4. МНОЖЕННЯ ЧИСЕЛ З ПЛАВАЮЧОЮ КОМОЮ

Для чисел

і , що представлені в формі з плаваючою комою, добуток обчислюється за формулою:

,

де

, .

Звідси випливає, що процес множення складається з чотирьох етапів:

- множення мантис;

- додавання порядків;

- нормалізація й округлення мантиси добутку;

- корегування порядку добутку.

Перші два етапи можуть виконуватись одночасно, оскільки вони незалежні один від одного. При цьому множення мантис може бути здійснене будь-яким з розглянутих методів множення.

У загальному випадку результат множення мантис

може бути одержаний в ненормалізованій формі. Причому порушення нормалізації можливо тільки зліва. Воно усувається шляхом зсуву коду мантиси на один розряд вліво і, відповідно, корегується порядок добутку шляхом віднімання одиниці від суми порядків. Округлення мантиси здійснюється додаванням одиниці до (п+1)-го розряду.

Під час виконання операції множення чисел з плаваючою комою можуть мати місце такі особливі випадки.

Якщо порядок результату є найбільшим від'ємним числом, то необхідно формувати машинний нуль.