Синтез системы автоматического управления непрерывным объектом (стр. 3 из 4)
Рис. 15. Система без компенсатора
Получим следующую характеристику:
Рис. 16. Поведение системы без дискретного компенсатора
С дискретным компенсатором система примет вид:
Рис. 17. Система с компенсатором
И характеристика будет следующей:
Рис. 18. Поведение системы с дискретным компенсатором
Как видно из характеристик, полученный дискретный компенсатор достаточно хорошо компенсирует возмущение.
6. Формирование интегрального квадратичного критерия
Любой критерий оптимальности есть аналитическая оценка оптимизируемого качества системы, зависящая от её параметров, задающих xи возмущающих f воздействий на объект управления u. Таким образом, критерий оптимальности выражается в виде функционала J(u), зависящего от функции управления, а оптимальное управление Uопт определяется как функция, реализующая экстремум критерия качества, т. е. функционал J(u).
Изначально объект задан в виде:
Рисунок 19 – Исходная модель объекта
Имеем систему, которая описывается моделью в области переменных состояния:
A, B, S – постоянные матрицы;x – ошибка по каждой из координат и равна:
Необходимо построить систему, которая обеспечит стабилизацию этих координат
, т.е. сформировать оптимальный закон управления, минимизирующий функционал качества. Будем использовать квадратичный критерий вида: 
Поскольку система имеет не первый порядок, то будем использовать квадратичный функционал, который примет вид:
7.Синтез оптимального закона управления
Для начала необходимо перейти к модели переменных состояний. Для этого необходимо избавиться от запаздывания.
Разобьем запаздывание на 4 равных:
.Разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами:
Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:
Рис.20.Вариант системы с учетом возмущающего воздействия и запаздывания
Передаточной функцию второй части объекта, в знаменателе содержит полином второго порядка, представим его в виде произведения двух полиномов первого порядка:
Таким образом, наше исходное запаздывание можно представить в виде четырех последовательно соединенных блоков и переходить в область переменных состояний от следующей модели:
На основе полученных дифференциальных уравнений запишем матрицы A,B,S.
A=
C, D – единичные матрицы, служат в качестве весовых коэффициентов. B – управляющего воздействия, S – матрица возмущающего воздействия.
Функцию φ примем в виде:
где R– положительно определенная симметричная матрица
Воспользуемся уравнением оптимальности Беллмана:
,Подставляя производные от φ и
в формулу (4.9), получим:
Оптимальный закон управления, минимизирующий выражение в скобках, равен:
Подставляя полученный закон управления в функциональное уравнение Беллмана, и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменных состояния, находим уравнения для нахождения матриц Rи L:
Видно, что в первом уравнении системы неизвестной является только матрица R, после её нахождения, на основании второго уравнения системы, можно найти матрицу L, которая представляет собой матрицу коэффициентов обратной связи по возмущению.
И так рассчитаем оптимальный регулятор, для этой цели используем математический пакет MatLab.
clc,clear,echo on
clc,clear,echo on
% Расчёт оптимального регулятора
% задание матрицы коэффициентов при переменных состояния
clc
clear
A=[-0.045 0 0 0 0 0 0 0 0;1 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 0 -0.07 0 0 0 0 0 0;0 0.01 0.01 -0.01 0 0 0 0 0;0 0 0 0.18 -0.18 0 0 0 0;0 0 0 0 0.26 -0.26 0 0 0;0 0 0 0 0 0.26 -0.26 0 0;0 0 0 0 0 0 0.26 -0.26 0;0 0 0 0 0 0 0 0.26 -0.26];
B =zeros(9)
B(1,1)=0.045;
C=eye(9);
S=zeros(9);
S(3,1)=0.07;
D=eye(9);
R=0.5*eye(9);
Q=R;
% решение уравнения Рикатти
[X,L,G,RR]=care(A,B,Q)
% матрица коэффициентов обратной связи по возмущению
L=G*S*(-G*B-A')
В результате получаем коэффициенты обратной связи по переменным состояния:
G1= 0.5089 G5=0.0139 G9=0.0001
G2=0.0175 G6=0.0033
G3 =0.0968 G7= 0.0012
G4=0.6909 G8=0.0003
Матрица L имеет вид
,Построим модель для проверки работы рассчитанного регулятора.
Рис.21. Модель системы с оптимальным регулятором
Получим следующий график переходного процесса:
Рис.22.
Из рисунка можно сделать заключение о том, что регулятор осуществляет качественное управление, так как обеспечивает незначительную статическую ошибку (ε = 0.03).
8. Расчёт релейного регулятора
Реальные автоматические системы требуют при рассмотрении учитывать всякого рода нелинейности. Для элементов, содержащих нелинейности, не выполняется принцип суперпозиции. Это, в свою очередь, ограничивает возможность применения преобразования Лапласа и Фурье.
Нелинейная система – система, содержащая хотя бы одно нелинейное звено, т. е. описываемое нелинейным уравнением. Особые свойства нелинейных систем широко используются в технике. На этих свойствах основано генерирование электромагнитных колебаний, выпрямление переменного тока, умножение и деление частот. По динамическим качествам нелинейные автоматические системы во многих случаях превосходят линейные системы.
Простейшим видом нелинейных корректирующих звеньев являются корректирующие звенья с нелинейной статической характеристикой.
Если пользоваться частотным описанием таких нелинейных динамических корректирующих звеньев (на основе гармонической линеаризации), то их назначение можно определить следующим образом. Во-первых, они применяются для получения определенной желаемой зависимости частотных характеристик от амплитуды сигнала и тем самым для получения различной реакции системы на воздействие разной величины или, наоборот, для устранения нежелательных таких зависимостей, обусловленных имеющимися в системе нелинейностями основных звеньев. Во-вторых, такие корректирующие звенья применяются для преодоления той жесткой зависимости между амплитудной и фазовой частотными характеристиками, которая существует в линейных системах, с целью независимой корректировки каждой из этих характеристик.
Расчет системы с учётом нелинейного элемента:
Заменим в системе ПИ-регулятор на нелинейный элемент. В качестве нелинейного элемента возьмём идеальное реле, статическая характеристика звена изображена на рисунке 23.
Рис.23. Идеальное реле
Чтобы реализовать данный регулятор в заданной системе автоматического управления, требуется рассчитать значения параметра с.
Проанализируем работу системы с нелинейной характеристикой и без неё в Simulink, а затем найдём параметры которые наиболее оптимально обеспечивают качество переходного процесса. На вход системы будем подавать единичное ступенчатое воздействие:
Рис.24. Сравнение работы нелинейной системы с исходной
Получим следующие графики
Рис.25. Работа системы с релейным регулятором и без него
Из переходных характеристик видно, что переходный процесс не выходит на установившееся значение равное единице. Следовательно надо подобрать значение параметра
, удовлетворяющее данному условию, а также учесть амплитуду автоколебаний возникающих при желаемом параметре .