Спектры элементарных возбуждений в двупериодических одномерных системах (стр. 1 из 2)
Содержание
Введение
Глава 1.Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки
Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки
Выводы
Список использованных источников
Приложение
Введение
Современная металло-оксидно-полупроводниковая микроэлектроника фактически достигла пределов быстродействия и степени интеграции. Дальнейшее развитие электроники связывают с уменьшением размеров устройств до наномасштабов с использованием новой элементной базы. Поэтому на сегодняшний день большой интерес вызывают так называемые квазиодномерные системы, примерами которых являются полимеры, нанотрубки на основе углерода, кремния и других материалов. В настоящее время нанотрубки уже выпускаются серийно многими фирмами, например, SES Research, Carbon Solutions Inc., Helix Material Solutions в США.
Нанотрубки бывают одностеночными и многостеночными. Одностеночная нанотрубка представляет собой графитовую плоскость, различным образом свернутую в цилиндр. Она характеризуется так называемыми индексами хиральности, и в зависимости от этих индексов может быть как металлом, так и полупроводником. Диаметр такой трубки порядка нанометров, а длина достигает микрометров, поэтому она занимает промежуточное положение между молекулой и кристаллом, что проявляется в наличии специфических свойств, в частности, зонной структуры в спектре электронов. Одностеночные нанотрубки уже достаточно хорошо изучены.
Многостеночная нанотрубка представляет собой либо несколько одностеночных трубок, вложенных друг в друга, либо графитовую плоскость, свернутую в несколько слоев в виде свитка, либо цилиндрическую структуру, составленную из небольших графитовых фрагментов и напоминающую папье-маше. В отличие от одностеночных, свойства многостеночных нанотрубок изучены намного хуже.
Целью данной работы является исследование спектров элементарных возбуждений двупериодических одномерных систем, примером которых являются двуслойные углеродные нанотрубки. Для этого с помощью метода сильной связи рассматривается спектр упрощенной модели нанотрубки в виде двух параллельных цепочек атомов, определяется уровень Ферми такой системы и исследуется ее проводимость. Все вычисления производились в программе, написанной на языке C++ в среде Microsoft Visual Studio 2008 с использованием библиотек Win32.
Глава 1. Электронный спектр двустеночной углеродной нанотрубки
Для исследования электронного спектра двустеночной углеродной нанотрубки воспользуемся моделью, в которой нанотрубка представляет собой две параллельные регулярные цепочки атомов с разными периодами. При этом, однако, в силу периодичности системы будем пользоваться результатами теоремы Блоха, поэтому необходимо потребовать, чтобы отношение периодов цепочек выражалось рациональной дробью.
Сначала рассмотрим систему, представляющую собой линейную цепочку атомов, расстояние между которыми а, и определим энергетический спектр электрона в такой системе.
Будем пользоваться приближением сильной связи и искать волновую функцию электрона в виде:
,в (1.1)где
- волновая функция электрона на изолированном n-ом атоме цепочки. Для удобства обозначим 
. Далее, минимизируя функционал энергии при условии нормировки волновых функций 
: 
(1.2)получим:
(1.3)Выделим в потенциальной энергии слагаемые с
и воспользуемся тем, что решения для электронов на изолированном атоме известны: 
, (1.4)где
- обменный интеграл. Далее учтем, что в методе сильной связи он считается ненулевым только для ближайших соседей, и получим: 
(1.5) 
(1.6)В силу трансляционной симметрии волновую функцию можно выбрать так, чтобы она удовлетворяла теореме Блоха, тогда коэффициенты
будут иметь вид 
. Подставим их в (1.6) и получим выражение для энергетического спектра электрона:
(1.7)где
- энергия основного состояния электрона в изолированном атоме, к – волновой вектор.Теперь рассмотрим две такие цепочки атомов, расположенные на некотором расстоянии d друг от друга. Расстояние между атомами в первой цепочке по-прежнему a, во второй – b. Если пренебречь возможностью перескока электрона с одной цепочки на другую, то собственные волновые функции электронов будут иметь следующий вид:
- описывает движение электрона с энергией 
по первой цепочке; 
- описывает движение электрона с энергией 
по второй цепочке;Теперь учтём, что при таком расположении цепочек появляется вероятность перескока электрона с одной из них на другую. Тогда в гамильтониане системы появятся недиагональные вклады:
, (1.8)где
- матричные элементы оператора взаимодействия, ответственного за перескок электронов. Считая его достаточно малым, вычислим поправки к энергии, воспользовавшись теорией возмущения для вырожденного уровня. Волновую функцию системы представим в виде линейной комбинации 
. Тогда соответствующее секулярное уравнение примет вид: 
(1.9)Отсюда получим энергию нашей системы:
(1.10)Уровень Ферми в такой системе расщепляется. Это следует из того, что значения интегралов перекрытия γ1 и γ2 принимают разные значения, вследствие этого происходит перекрытие зон. Формула для энергии уровня Ферми упростится, если мы будем считать, что на нем выполняется условие:
(1.11)и примет вид:
(1.12)Осталось вычислить
. Очевидно, что вероятность перескока электрона с одной цепочки на другую определяется расстоянием между атомами этих цепочек и быстро убывает с его ростом. Поэтому смоделируем 
в таком виде: 
(1.13)Значение этого выражения определяется численно в программе. Импульсы k и p на уровне Ферми определяются из условия равенства энергий (1.11). Значения интегралов перекрытия брались из [1], [2].
Глава 2. Проводимость двустеночной углеродной нанотрубки
Как было показано в [3], в упрощенной модели одностеночной трубки, представляющей собой линейную цепочку атомов, сила протекающего через нее тока определяется выражением:
, (2.1)где U- напряжение, приложенное к концам трубки, L – ее длина, τ – время релаксации электронов, n – их концентрация. После простых преобразований получим:
(2.2)Так как мы рассматриваем идеальную систему, то рассеяние электронов при движении может происходить только на контактах. Тогда время релаксации электронов можно определить так:
(2.3)Тогда формула приобретет простой вид:
(2.4)Видно, что электрическое сопротивление одностеночной нанотрубки обладает уникальным свойством – оно не зависит от геометрических размеров и определяется величиной
- квантом сопротивления (формула Ландауэра [4], [5]). Такое сопротивление называется баллистическим.Рассмотрим теперь проводимость двустеночной нанотрубки.
В предыдущей главе было показано, что гамильтониан системы из двух линейных регулярных цепочек атомов с учетом их взаимодействия имеет вид:
(2.5)Собственными волновыми функциями такого гамильтониана будут функции:
, 
(2.6)