Предмет:

"Теория автоматического управления"

Тема:

"Устойчивость движения в нелинейных системах"

1. Общие понятия и определения

При анализе устойчивости движений в нелинейных системах исследуют устойчивость в особых точках, характеризующих равновесные состояния и на предельных циклах, характеризующих автоколебания. Если в линейных системах работоспособными оказываются только устойчивые системы, то в нелинейных системах наличие автоколебаний является нормальным режимом ее функционирования.

Рассмотрим некоторые понятия об устойчивости движения в нелинейных системах. Существенный вклад в развитие теории нелинейных систем внес А.М. Ляпунов.

Устойчивость в малом – устойчивость при малых отклонениях. Для определения устойчивости в малом используют первый метод Ляпунова – метод линеаризации.

Устойчивость в целом – устойчивость, которая не зависит от величины начальных условий. Для определения устойчивости в целом используют второй (или прямой) метод Ляпунова.

2. Исследование устойчивости движения в окрестности особых точек

Ляпунов сформулировал теоремы об устойчивости линеаризованных систем. Движение в окрестности особой точки может быть асимптотически устойчивым (рис. 1а) или устойчивым в смысле Ляпунова (рис. 1б).

а) б)

Рис. 1

Пусть имеется особая точка в начале координат. Устойчивость определяется в окрестности этой точки.

Если может быть найдена такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, заканчивалось в точке, характеризующей состояние равновесия, то такое движение называется асимптотически устойчивым.

Если внутри окрестности точки может быть найдена такая область, чтобы движение, начавшись вблизи окрестности, заканчивалось в пределах области точки, то такое движение называется устойчивым по Ляпунову.

Рассмотрим нелинейную систему второго порядка, которая описывается системой уравнений:

(1)

Условие особых точек:

(2)

Каждое из этих уравнений может быть представлено в виде линии на плоскости x0y. Если система линейная (рис. 2а), то оба уравнения линейны и линии пересекаются в одной (особой) точке, которая расположена, как правило, в начале координат. Для нелинейных систем (рис. 2б) каждое уравнение это уравнение кривой. Они могут пересекаться в нескольких точках, т.е. особых точек может быть сколь угодно.

Рис. 2

Для определения устойчивости в окрестности какой-либо точки можно воспользоваться методом линеаризации.

(3)

Переходим к уравнениям в изображениях

(4)

где

- постоянные коэффициенты, при этом x = x_0, аy = y₀.

Система линеаризованных уравнений

(5)

Исключив одну переменную, можно получить уравнение второго порядка

(6)

Для определения устойчивости анализируем корни характеристического уравнения

(7)

Если корни характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная система устойчива, а соответствующая ей исходная нелинейная система асимптотически устойчива в окрестности, рассматриваемой особой точки.

Если корни расположены в правой плоскости, то линеаризованная система неустойчива, а движение в окрестности особой точки является неустойчивым.

Если корни расположены на мнимой оси, то линеаризованная система не устойчива, а для определения устойчивости нелинейной системы необходимо провести дополнительные исследования нелинейной системы, т.е. уравнения в первом приближении не дают точного представления об устойчивости нелинейной системы.

3. Второй (прямой) метод Ляпунова

Если хотя бы один из корней характеристического уравнения расположен на мнимой оси, то первый метод Ляпунова не дает ответа на вопрос об устойчивости движения в окрестности особой точки, при этом используется второй (прямой) метод Ляпунова, позволяющий определить устойчивость в большом.

Метод основан на использовании специальных функций, называемых функциями Ляпунова. Чтобы выяснить смысл функций Ляпунова рассмотрим фазовый портрет в окрестности некоторой особой точки (рис. 3). Рассмотрим радиус – вектор -r, который изменяется по модулю в функции времени.

Рис. 3

Если при

, то движение асимптотически устойчиво.

Если при

увеличивается

, то движение не устойчиво.

Если при

const

, то движение устойчиво в смысле Ляпунова.

Ляпунов доказал, что надо найти такую произвольную функцию H (x, y), которая бы играла роль радиус-вектора r, и была бы положительной для всех точек за исключением, быть может, начала координат, где она может быть равной нулю. Такая функция называется функцией Ляпунова.

Знакоопределенной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов за исключением, может быть, начала координат, где она равна нулю, имеет определенный знак (рис. 4а).

Знакопостоянной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов (за исключением нескольких точек, где она равна нулю) сохраняет постоянный знак (рис. 4б).

а) б)

Рис. 4

4. Теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем

1. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H (x, y), что

тоже знакоопределенная функция противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки асимптотически устойчиво.

2. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H (x, y), что

будет знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки будет устойчивым в смысле Ляпунова.

3. Если существует такая функция H (x, y) > 0, что

> 0, то такое движение неустойчиво.

Эти теоремы характеризуют достаточные условия устойчивости движения в нелинейных системах. Функции Ляпунова выбираются в виде квадратичных функций или квадратичная функция плюс интеграл исходя из того, что

(8)

Это самое слабое место метода, так как нет способа выбора функций Ляпунова, ее выбор представляет трудности, надо полагаться на интуицию и некоторые рекомендации.

Рассмотрим примеры анализа устойчивости движения в окрестности особых точек с использованием методов Ляпунова.

Пример 1. Пусть задана схема нелинейная система (рис. 5). Определить особые точки и проанализировать их устойчивость, если нелинейные звенья описываются функциями: f(x) = x³, f(y) = y³.

Запишем дифференциальные уравнения системы

Используем для анализа устойчивости 1-ый метод Ляпунова (метод линеаризации или метод оценки устойчивости по первому приближению).

Корни характеристического уравнения линеаризованной системы расположены на мнимой оси, т.е. для определения достаточного условия устойчивости применим 2-ой метод Ляпунова.

Необходимо найти функцию Ляпунова (т.е. знакоопределенную функцию Н (x, y) > 0). Пусть

Это знакоопределенная функция отрицательного знака, следовательно, состояние равновесия асимптотически устойчиво.

Устойчивость движения в нелинейных системах (стр. 1 из 2)

Рассмотрим примеры анализа устойчивости движения в окрестности особых точек с использованием методов Ляпунова.