Устойчивость дискретных систем управления (стр. 2 из 3)
Выполнив билинейное преобразование, получим
Условие устойчивости: 1 – b > 0, 1 + b +d > 0, где b = [k(1-d)-(1+d)].
4. Применение критериев устойчивости для дискретных систем
Все критерии устойчивости, которые используются для анализа устойчивости непрерывных систем, могут быть использованы для дискретных систем с учетом некоторых особенностей.
Критерий Гурвица
Критерий устойчивости Гурвица можно использовать при применении билинейного преобразования. Рассмотри алгоритм его использования.
1. Записываем характеристическое уравнение D(z) = 0
.(5)2. Выполняем подстановку
, при этом получим характеристическое уравнение D(w) = 0, т. е. в форме билинейного преобразования 
. (6)3. Составляем определитель Гурвица
. (7)4. Определяем устойчивость также как и для непрерывных систем.
Линейная дискретная система устойчива, если при
определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительны.Рассмотрим частные случаи.
При n = 1 характеристическое уравнение имеет вид
Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, а также: a0 - a1 > 0.
При n = 2 характеристическое уравнение имеет вид
Условие устойчивости: a0 > 0, a1 > 0, a2 > 0, а также:
a0 - a1 + a2 > 0, a0 - a2 > 0.
Пример Определить устойчивость дискретной системы, если передаточная функция разомкнутой системы в форме z – преобразования, имеет вид
.Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
.Характеристическое уравнение имеет вид
.Выполним билинейное преобразование
Система не устойчива.
Критерий устойчивости Михайлова
Доказательство частотных критериев устойчивости базируется на следствии из принципа аргумента. Рассмотрим, как он формулируется для дискретных систем.
Пусть задано характеристическое уравнение замкнутой системы
. (8)Рассмотрим комплексную плоскость Z (рис. 7), пусть z2расположен внутри круга единичного радиуса, а z1 вне него.
При этом
(9)Если замкнутая система устойчива, то все корни расположены в пределах окружности единичного радиуса, а значит
(10)Замкнутая дискретная система устойчива, если характеристическая кривая D*(jw) при изменении частоты 0 £w£p/T последовательно проходит 2n квадрантов.
Порядок построения характеристической кривой: определяем D(z); выполняем подстановку
; определяем выражение 
;изменяя 0 £w£p/Tстроим D*(jw)(рис. 5).
 |
а) б)
Рис. 5
Пример 8. Определить устойчивость по критерию Михайлова системы, схема которой приведена на рис. 6, если T = 1 с, kv = 2 c-1.
 |
 |
-Рис.6
Решение: Передаточная функция разомкнутой системы
.Передаточная функция разомкнутой дискретной системы
.Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования
Передаточная функция замкнутой дискретной системы в форме z – преобразования
.Характеристический полином имеет вид
.Определяем выражение
Изменяя частоту в пределах 0 £w£p (0 £w£p/T) строим годограф Михайлова (рис. 7).
| w | 0 | p/4 | p/2 | p3/4 | p |
| X*(w) | 2 | 1+Ö2/2 | 1 | 1-Ö2/2 | 0 |
| Y*(w) | 0 | Ö2/2 | 1 | Ö2/2 | 0 |
Как видно из рисунка система находится на границе устойчивости.
Проверим по критерию Гурвица при
kvT = 2; z+1 = 0; z1 = -1; 1 z11=1.
Корень находится на окружности единичного радиуса, следовательно, система находится на границе устойчивости.
Критерий устойчивости Михайлова с использованием билинейного преобразования
При этом исходным является характеристический полином в форме z-преобразования. Выполним подстановку
z = (1+w)/(1-w) .
(11)Пусть: w = jl, где l–фиктивная частота (0 £l£¥).
При этом критерий Михайлова для дискретных систем применяется в таком же виде, как и для непрерывных систем.
Пример 9. Определить условие устойчивости по критерию Михайлова дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.
Решение:
Характеристический полином имеет вид
.Выполнив подстановку z = (1+w)/(1-w), в характеристический полином получим
.Выполнив подстановку w = jl, в характеристический полином получим
Строим график рис. 8. Система устойчива при kvT > 2. Критический коэффициент усиления равен kv кр = 2/T.
Рис. 8
Критерий устойчивости Найквиста
Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых дискретных систем
(12)где D*(p) – характеристический полином замкнутой системы;
A*(p) – характеристический полином разомкнутой системы.
В соответствии со следствием из принципа аргумента
(13)Рассмотрим разные случаи.
Система, устойчивая в разомкнутом состоянии
Так как разомкнутая дискретная система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т. е. m = 0), для того чтобы и замкнутая дискретная система была устойчива, должно выполняться условие
(14)Формулировка критерия Найквиста:
Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой устойчивой системы не охватывает току с координатами (–1,j0).
Графически это обозначает, что годограф вектора W*(jw) не охватывает начала координат, а вектора K*(jw) -точку с координатами (-1, j0).
Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии
Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того чтобы замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:
Графически это обозначает, что годограф вектора K(jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m –раз.
Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая дискретная система устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает току с координатами (–1 , j0) m раз.
Пример 10. Определить условия устойчивости и величину критического коэффициента усиления по критерию Найквиста дискретной системы, схема которой приведена на рис. 6.
Решение: Передаточная функция разомкнутой дискретной системы в форме z– преобразования