Вейвлет-перетворення (стр. 1 из 3)

Реферат з теми:

вейвлет-перетворення

Вступ

Математичні перетворення застосовують до сигналу для того, щоб одержати про нього якусь додаткову інформацію, недоступну у вихідному вигляді. Серед багатьох відомих перетворень сигналів найбільш популярним є перетворення Фур'є (ПФ).

Більшість сигналів, що зустрічаються на практиці, представлені в часовійобласті, тобто сигнал є функцією часу. Таким чином, при відображенні сигналу на графіку однієї з осей координат є вісь часу, а іншою координатою – вісь амплітуд. Отже, ми одержуємо амплітудно-часове подання сигналу. Для більшості додатків обробки сигналу це подання не є найкращим. У багатьох випадках найбільш значима інформація прихована в частотній області сигналу.

Частотний спектр є сукупністю частотних компонентів, він відображає наявність тих або інших частот у сигналі. Як відомо, частота вимірюється в Герцах [Гц], або в числі періодів у секунду. На рис. 1 приведені три синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц. Порівняємоїх.

Рисунок 1 – Синусоїди з частотою 3Гц, 10Гц та 50Гц

Найчастіше інформація, не помітна в часовому поданні сигналу, виявляється при його частотномуподанні. Розглянемо як приклад біологічний сигнал, наприклад, електрокардіограму (ЕКГ). Типовий вид ЕКГ добре відомий кардіологам. Будь-яке значне відхилення від нього розглядається як патологія. Ця патологія, однак, не завжди може бути помітна при часовому поданні сигналу. Тому в останніх моделях електрокардіографів для аналізу використовується й частотна область сигналу. Рішення про патологію виноситься тільки з використанням інформації частотної області.

Крім ПФ існує й багато інших часто застосовуваних перетворень сигналу. Прикладами є перетворення Гільберта, віконне ПФ, розподіл Вігнера, перетворення Уолша, вейвлет-перетворення й багато інших. Для кожного перетворення можна вказати найбільш підходящуобласть застосування, переваги й недоліки, і вейвлет-перетворення (ВП) не є в цьому випадку винятком.

Для кращого розуміння потреби у ВПрозглянемо докладніше ПФ. ПФ (так, як і ВП) є зворотним утворенням, тобто з його коефіцієнтів за допомогою зворотного перетворення може бути отриманий вихідний сигнал. Однак тільки одне з представлень доступне для нас у кожний момент часу: частотну інформацію не можна витягти з часової, а часову – з частотної. Виникає природне запитанння: чи можливо одержати спільне частотно-часове подання сигналу?

Як буде показано, відповідь залежить від конкретного додатка й від природи сигналу. Нагадаємо, що ПФ подає частотну інформацію, яка міститься в сигналі, тобто говорить нам про те, який зміст кожної частоти в сигналі. Однак у який момент часу виникла та або інша частота, коли вона закінчилася – на ці запитання відповідь одержати не вдасться. Втім, ця інформація не потрібна, якщо сигнал – стаціонарний.

Стаціонарними називаються сигнали, частотне наповнення яких не змінюється в часі. Тому при частотному аналізі таких сигналів не потрібна часова інформація – всі частоти присутні в сигналі протягом усього часу.

Наприклад, сигнал:

x(t)cos(210t)cos(225t)cos(250t)cos(2100t)

єстаціонарним, оскільки частоти, які є в ньому, 10, 25, 50 й 100 Гц не змінюються в часі. Цей сигнал зображений нижче (рис. 2):

Рисунок 2 – Стаціонарний сигнал з частотами 10, 25, 50 та 100 Гц

А тут показано його ПФ:

Рисунок 3 – Частотний спектр сигналу, показаного на рис. 2

На верхньому графіку рис. 3 зображений частотний спектр сигналу, показаного на рис. 2. На нижньому графіку зображена його збільшена копія - діапазон частот, який цікавить нас. Зазначте, що чотири частотні компоненти відповідають частотам 10, 25, 50 та 100 Гц.

Розглянемо ще один приклад. На рис. 4 показаний сигнал, що складається з чотирьох різних частот, що зустрічаються на чотирьох різних інтервалах й, отже, єнестаціонарним. В інтервалі часу від 0 до 300 мс частота сигналу 100Гц, від 300 до 600 мс – 50Гц, від 600 до 800 мс – 25Гц і на останньому інтервалі – 10Гц.

Рисунок 4 – Сигнал, що складається з чотирьох різних частот

Рисунок 5 – Спектр (ПФ) сигналу, зображеного на рис. 4

Як видно з рисунка, всі чотири частотні компоненти чітко зображені. Відмітьте, що амплітуди високочастотних компонентів більші, ніж низькочастотних. Це пов'язане з тим, що їхня тривалість більша. ПФ має чотири піки, які відповідають чотирьом частотам, що присутні у сигналі.

Для першого сигналу, показаного на рис. 2, розглянемо таке питання: у який момент часу (або хоча б інтервал) виникла та або інша частота? Вони існують протягом усього часу. Нагадаємо, що в стаціонарних сигналах всі частотні компоненти присутні протягом усього часу. Тобто 10, 50, 100Гц присутні на всьому часовому інтервалі.

Тепер розглянемо те саме питання для нестаціонарного сигналу, показаного на рис. 4. У який час існують різні частоти? Зрозуміло, що не постійно. Однак, порівнявши спектри рис. 7 і рис. 9, ми не виявимо особливої різниці. На обох графіках видно чотири частотні складові 10, 25, 50 та 100Гц. Крім неоднаковості амплітуд піків, інших розбіжностей між спектрами немає, хоча вони відповідають різним сигналам у часовійобласті. Яким чином спектри двох настільки різних сигналів виявилися схожі? Існує така властивість ПФ, яка дозволяє побачити частотне наповнення сигналів, але не дозволяє визначити, в який момент часу існує та або інша частота. Тому ПФ непридатне для аналізу нестаціонарних сигналів, за одним винятком: ПФ може використовуватися для аналізу нестаціонарних сигналів, якщо нас цікавить лише частотна інформація, а час існування спектральних складових неважливий. У протилежному випадку треба шукати більшпідходящий метод аналізу.

Якщо потрібна часова локалізація спектральних компонентів, необхідно звернутися до частотно-часового подання сигналу.

1. Віконне перетворення Фур'є

Припустимо, що нестаціонарний сигнал кусково-стаціонарний. Такий підхід одержав назву віконного (або короткочасного) перетворення Фур'є (ВПФ).

При ВПФ сигнал поділяється на відрізки («вікна»), у межах яких його можна вважатистаціонарним. Для цього до сигналу застосовується віконна функція w, ширина якої має дорівнювати ширині вікна. Нехай ширина віконної функції Т сек. Тоді в момент часу t=0 вона перекривається з Т сек сигналу. Віконна функція та сигнал перемножуються. Якщо віконна функція прямокутна і одиничної висоти, то сигнал не змінюється. У протележному випадку він зважується з віконною функцією. Потім добуток піддається перетворенню Фур'є. У результаті ми одержуємоПФперших Т сек вихідного сигналу. Якщо цей відрізок стаціонарний, як ми й припускали, то отриманий результат перетворення коректно відображає частотне наповнення перших Т сек сигналу.

Наступним кроком єзміщення віконної функції на деяку величину t сек. Функція із зміщенням знову множиться із сигналом, виконується ПФ результату множення. Ця процедура повторюється до досягнення кінця вихідного сигналу. Все вищесказане про ВПФ можна записати у такому вигляді:

,

де

– вихідний сигнал, w( ) – віконна функція. Як видно з виразу, ВПФ є ні що інше, як ПФ сигналу, помноженого на віконну функцію. Отже, ми отримуємо істинне частотно-часове перетворення (ЧЧП) сигналу.

Розглянемо приклад. По-перше, оскільки наше перетворення є функцією як часу, так і частоти (на відміну від ПФ, що залежить тільки від частоти), то воно є двовимірним (а з урахуванням амплітуди, то й тривимірним). Нехай заданий нестаціонарний сигнал, наприклад, показаний на рис. 6. У цьому сигналі в різні моменти часу присутні різні частотні компоненти: від 0 дo 250мс – 300Гц, і, далі 200, 100 й 50Гц. Погляньте на ВПФ цього нестаціонарного сигналу на рис. 7:

Рисунок 6 – Заданий нестаціонарний сигнал

Рисунок 7 – ВПФ нестаціонарного сигналу

Це тривимірний графік. По осях «x» та «y» відкладені час і частота, відповідно. Розглянемоогинаючу частотно-часового подання. На графіку чітко виражені чотири піки, які відповідають чотирьом частотним компонентам. На відміну від ПФ, ці піки локалізовані в різних часових інтервалах. Отже, тепер ми маємо істинне частотно-часове подання сигналу. Ми не тільки знаємо, які частотні компоненти присутні в сигналі, але й у який момент часу вони зустрічаються.

Якщо ВПФ дає частотно-часове подання сигналу, то для чого ж нам вейвлет-перетворення? Властивий ВПФнедолік не видно з розглянутого прикладу.

Проблеми ВПФ мають свої корені у явищі, що називається принципом невизначеності Гейзенберга. Цей принцип свідчить, що неможливо одержати довільно точне частотно-часове подання сигналу, тобто не можна визначити для якогось моменту часу, які спектральні компоненти присутні в сигналі. Єдине, що ми можемо знати, так це часові інтервали, протягом яких у сигналі існують смуги частот. Ця проблема називається проблемою розрізнювання.

Проблема ВПФ пов'язана з шириною віконної функції, що використовується. Ця ширина називається носієм функції. Якщо вікно досить вузьке, то говорять про компактний носій. Як побачимо надалі, ця термінологія особливо широко використовується в теорії вейвлет-перетворень.