Идентификация технологических объектов управления (стр. 3 из 7)

Здесь Y(f) - столбец неизвестных выходных функций времени или переменных состояния; F (t) — столбец задающих (входных) функций времени; А, В — квадратные матрицы постоянных коэффициентов.

Сравнивая (3.14) с записью дифференциального уравнения первого порядка и располагая формулой его решения

И располагая формулой его решения

где τ — переменная интегрирования, можно доказать, что и для матричного выражения системы дифференциальных уравнений можно напирать аналогичное выражение для ее решения. Здесь матричная экспоненциальная функция е^Atможет быть представлена рядом системы уравнения вида:

Здесь матричная экспоненциальная функция е^At может быть представлена рядом:

Требуемые для получения временных функций суммирование и умножение матриц выполняются на ЭВМ по типовым программам.

Как и одномерные системы, многомерные решают задачи стабилизации совокупности параметров, программно-следящего их изменения или оптимизации.

Специфичным для многомерных систем является возможность неравенства числа входов и выходов, обычно п_у ≤ п_х, а также взаимовлияние каналов друг на друга. Формально это взаимовлияние представляется в виде перекрестных связей с передаточными функциями Н₂ (р), Н₆(р), Н₇ (р) на рис. 3.1. Если они являются объективным проявлением природы управляемого объекта, они называются естественными. Если введены специально, например, для нейтрализации взаимовлияния — искусственными или корректирующими.

Например (рис. 3.1), для компенсации влияния y на y₃ представ ленного в виде естественной связи с передаточной функцией Н₆ (р), необходимо на вход х₆ подать с входа Х корректирующую связь с передаточной функцией

Тогда выражение для у_ъ (р) в (3.8) примет вид

или

Здесь у_ъ становится независимым от х i.

Рассматривая систему (3.8), можно ввести понятие передаточной матрицы является собственными передаточными функциями. Они отражают зависимость выхода от "своего" входа; остальные (обозначим их L) являются несобственными. Тогда

где

Очевидно, чтобы каналы стали автономными, передаточная матрица должна стать диагональной.

При частотных методах исследования если на один из входов подать гармонический сигнал частоты ω, то на всех выходах появятся гармонические сигналы той же частоты, но с разными амплитудами и фазами, т.е. может быть введено понятие собственной и несобственной амплитудно-фазовых характеристик.

Аналогично можно рассматривать переходную матрицу, отражающую временную реакцию выходов на единичные скачки на входах.

При построении сложных систем из многомерных звеньев, как и при использовании одномерных звеньев, очень удобны и наглядны структурные схемы из звеньев и связей между ними, которые изображаются двойными линиями.

Хотя наиболее универсальным подходом при анализе и преобразовании такой системы является совместное решение систем уравнений в матричной форме, возможны и привычные структурные преобразования. Правила преобразования и методы их обоснования в многомерных системах хорошо ассоциируются с одномерными, хотя и имеют свою специфику.

Для простоты рассмотрим преобразования с матричными звеньями одинакового размера, когда число входов равно числу выходов. Тогда при последовательном соединении матричных звеньев с передаточными функциями Н₁(р) и Н₂(р) эквивалентное звено описывается матрицей

При параллельном - матрицей

при антипараллельном – матрицей

где Е — единичная матрица.

Схожи и правила переноса точек ответвления и суммирования.

Самостоятельной проблемой многомерных звеньев и систем является выбор исходной модели, определяющей в дальнейшем число входов и выходов. По существу до выполнения анализа модели неизвестна значимость отдельных выходов для функционирования системы при решении поставленной перед ней задачи. До анализа модели трудно также оценить, все ли входы (исполнительные элементы технологического агрегата) существенно влияют на выбранные выходы (технологические параметры).

В этом плане выделяют полностью управляемые системы, когда все выходы зависят от всех входов, и полностью наблюдаемые, когда нет переменных состояния, не связанных с выходами.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

Постановка задачи

Если для получения модели аналитические методы идентификации неприемлемы в связи с недостаточным знанием алгоритмов функционирования технологических объектов управления либо по причине сложности и экономической нецелесообразности разработки моделей на их основе, то применяются экспериментальные методы получения моделей технологических объектов управления. Модели, полученные на основе эксперимента, не столь универсальны, как аналитические, но более просты по своей структуре и позволяют применять однотипный математический аппарат.

Экспериментальные методы идентификации базируются на пассив ном либо активном эксперименте. В первом случае исследуются режимы естественной эксплуатации технологических объектов управления, во втором задаются такие, которые наилучшим образом выявляют его свойства. Во время эксперимента измеряются значения интересующих нас технологических параметров (управляемых выходных переменных) и факторов, на них влияющих (управляющих входных переменных и возмущений). Эти данные позволяют выбрать математическое выражение и определить входящие в него коэффициенты, исходя из обеспечения адекватности модели объекту. Полученная таким об разом модель должна с заданной степенью точности соответствовать реальному объекту, т.е. расчетные и экспериментальные значения выходных переменных при заданных управляющих воздействиях и возмущениях должны совпадать в динамических и статических режимах.

Проведение эксперимента и последующая обработка его результатов для создания модели усложняются в связи с тем, что технологические объекты управления, как правило, многомерные и недетерминированные. Поэтому при проведении серии повторяющихся экспериментов при подаче одинаковых входных переменных на выходе можно получать различные значения одной и той же технологической переменной. Такое различие объясняется действием случайных сочетаний неучтенных факторов. Если разбросы незначительные, то задача сводится к оценке степени приближения модели к результатам эксперимента. При значительных отклонениях под сомнение ставится правильность выбора типа модели. В ряде случаев возникает даже необходимость сначала установить сам факт наличия закономерности между входными и выходными величинами. В этом случае решающее значение приобретает задача определения объема эксперимента. Под объемом эксперимента понимают количество учитываемых факторов, частоту повторения однотипных экспериментов и их количество. Чем больше число повторений опыта, тем достовернее модель, т.е. тем больше вероятность нахождения истинного значения переменной в более узком интервале эксперимента.

Исходя из изложенного, можно установить следующие основные этапы получения модели технологического объекта управления по экспериментальным данным:

- планирование объема эксперимента: количества контролируемых параметров, числа измерений и кратности их повторения;

- выбор типа математической модели (уравнения регрессии);

- выполнение эксперимента и обработка данных;

- определение количественных характеристик (коэффициентов) принятого типа модели;

- проверка значимости полученных коэффициентов по влиянию на них разброса результатов экспериментов;

- проверка адекватности модели объекту.

Если две последние проверки дают отрицательный результат, то проводится уточнение объема эксперимента, эксперимент повторяется, уточняется модель объекта.

Идентификация одномерных детерминированных объектов

Задача состоит в представлении в аналитическом виде существующей связи между входом и выходом одномерного объекта. Полагаем, что при эксперименте случайные помехи отсутствуют и в экспериментально снятых значениях нет разброса. Для таких объектов модель наиболее часто описывается полиномом вид:

Степень полинома ориентировочно можно определить по разностям экспериментально снятых ординат функции при постоянных приращениях аргумента. Она принимается равной такому порядку разностей, при котором они становятся примерно постоянными во всем диапазоне изменения входной величины. Например, при неизменных разностях между ординатами модель описывается полиномом первой степени, при неизменных разностях между разностями второго порядка — полиномом второй степени и t.д.