Смекни!
smekni.com

Моделирование голограммы, получаемой с помощью подповерхностного сканирующего радиолокатора (стр. 2 из 4)


. (4)

Зная спектр плоских волн в произвольной плоскости

, можно вычислить соответствующую комплексную амплитуду поля с помощью преобразования Фурье

.(5)

Делая замену переменных

,
в выражении (1) получаем

,(6)

в котором

(7)

– преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по апертуре излучающей антенны.

Подставляя (1), (3) и (4) в выражение (5), получим


(8)

Выражение (8) позволяет по известному распределению комплексной амплитуды по апертуре излучающей антенны находить комплексную амплитуду в нижнем полупространстве, заполненном однородным веществом, имеющим комплексную диэлектрическую проницаемость

.

Комплексная амплитуда поля точечного излучателя, находящегося в нижнем полупространстве, принимаемая антенной

Рассмотрим точечный отражатель, расположенный в нижнем полупространстве и имеющий координаты

. Будем отраженное от него поле в плоскости
описывать функцией

,(9)

где

задается выражением (8).

Спектр плоских волн для распределения комплексной амплитуды (9), вычисленный с использованием (2) будет иметь вид

.(10)

Распространяясь до плоскости

, спектр трансформируется согласно

.(11)

После прохождения границы раздела, каждая плоская волна должна быть умножена на коэффициент прохождения Френеля при распространении снизу вверх, таким образом, что спектр плоских волн в плоскости

принимает вид

,(12)

где

– коэффициент прохождения Френеля для плоской волны, характеризуемой парой
.

Распределение комплексной амплитуды поля в плоскости

будет находиться как обратное преобразование Фурье от спектра, задаваемого выражением (12)

.(13)

Принимаемый апертурой антенны, центр которой имеет координаты

, сигнал записывается как

.(14)

Подстановка (13) в (14) приводит к такому выражению для комплексного выхода с антенны


(15)

в котором

(16)

– обратное преобразование Фурье от распределения комплексной амплитуды по апертуре антенны.

Комплексный выход

с антенны радиолокатора, центр апертуры которой имеет координаты
, при отражении от точечного рассеивателя, координаты которого задаются вектором
, может быть записан следующим образом

,(17)

где

– комплексный коэффициент отражения от элементарной площадки заглубленного предмета.

Сигнал, отраженный от поверхности и регистрируемый приемником

Найдем регистрируемый приемником сигнал, который получается в результате отражения от поверхности раздела. Для этого сначала запишем выражение для спектра плоских волн после отражения от поверхности раздела, которое будет произведением (1) и коэффициента отражения Френеля


. (18)

Спектру (18) соответствует связанное с ним обратным преобразованием Фурье распределение комплексной амплитуды поля

(19)

Комплексный выход антенны будет найден интегрированием (19) по апертуре антенны

.(20)

Выполняя подстановку (18) и (19) в (20), осуществляя интегрирование, получается следующее выражение для комплексного выхода антенны, обусловленного отражением от поверхности раздела

.(21)

В полученном выражении комплексное число

, как и следовало ожидать, не зависит от координат центра апертуры. Величина
зависит от комплексной диэлектрической проницаемости нижнего полупространства через коэффициент отражения Френеля и является постоянным слагаемым, которое, наряду с опорным сигналом от передатчика к приемнику, добавляется к сигналу, регистрируемому радиолокатором после отражения от рассеивателей, находящихся в нижнем полупространстве.

Коэффициенты прохождения и отражения Френеля для плоской волны

Найдем коэффициенты Френеля для отражения и прохождения плоской волны, задаваемой уравнением

, (22)

в котором величины

,
и
в общем случае могут быть комплексными и не иметь смысла проекций волнового вектора
на оси координат. В таком случае уравнение (22) будет описывать как однородную, так и неоднородную волну, в которой направление убывания амплитуды и направление распространения могут не совпадать [10]. Подстановка (22) в уравнение Гельмгольца, записанного для однородной среды вне области, занятой источниками

, (23)

в котором

, (24)

позволяет получить условие, которое должно выполняться для величин

,
и
в общем случае

. (25)

В предыдущих параграфах, плоская волна и соответствующие ей коэффициенты отражения и преломления характеризовались парой чисел

и
, а не с помощью угла падения или скольжения, поскольку для удобства последующих расчетов, с применением быстрого алгоритма преобразования Фурье, удобно поступить именно так. Найдем соответствующие коэффициенты отражения и преломления как функции
и
, т.е. именно в таком виде, в котором они фигурируют в формулах из предыдущих параграфов.

Рис. 2. К выводу френелевских коэффициентов отражения и прохождения для однородных и неоднородных плоских волн.

Пусть на поверхность раздела падает плоская волна, задаваемая уравнением (23) (рис. 2). Решение задачи будем искать в виде трех волн: падающей и отраженной в верхнем полупространстве и преломленной в нижнем полупространстве, причем отраженную и преломленную плоские волны запишем в виде

, (26)