Смекни!
smekni.com

Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (стр. 2 из 4)

(9)

Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:

(10)

Отже, ряд Фур’є заданого сигналу має вигляд:

(11)

Амплітуди гармонік залежать від величини

а їх початкові фази визначає знак функції

Рисунок 2 – Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні

Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:

. (12)

Для випадку, що його розглядаємо (

), із (12) одержуємо:

(13)

тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.

Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює

, про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях
значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ω = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень
, що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де
= 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях
можна наближено записати :

(14)

Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.

Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом

та амплітудою A (див. рис.2).

B інтервалі

функція
непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):

(15)

Ряд Фур'є даного коливання має вигляд:

(16)

Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють – 38°, а парних гармонік + 38°.

2 Комплексна форма опису ряду Фурє

Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фур'є часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:

. (17)

Рисунок 3 – Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри

Справді, з урахуванням (17) записуємо:

(18)

Величину

(19)

прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.

Величину:

називають комплексно спряженою з
величиною.

Тепер вирази (1a,б) можна записати так:

(20)

Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фур’є. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за від’ємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фур’є входять гармоніки з додатними і від’ємними частотами. Від’ємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони з’являються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.

Комплексні амплітуди

можна визначити на підставі функції
за формулою:

(21)

Ha підставі (21) знаходимо взаємозв'язок між величинами

та Ck і Sk, які описуємо виразами (3), (4):

. (22)

Зауважимо, що для від’ємних значень

Для
де A0 визначаємо виразом (2).

Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фур’є. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга – визначити спектр сигналу, якщо задана функція

, яка описує сигнал.

3 Спектральний опис імпульсних сигналів

Приймемо, що заданий сигнал

має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі
.

Крім того, функція

задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто

Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію

у періодичну
повторенням її з довільним періодом
(рис. 16б). Отриману періодичну функцію
можна розкласти в ряд Фур’є, причому коефіцієнти ряду Фур’є
будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал
як період. Це випливає з виразів (2)–(4). Якщо період
збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний імпульс
.

Рисунок 4 – Одинокий (а) та періодичний (б) імпульсні сигнали однакової форми

Отже,

(23)

Збільшуючи період

до нескінченності, отримаємо в границі нескінченно малі амплітуди гармонічних складових, сума яких дає початкову неперіодичну функцію
, задану в інтервалі

Кількість гармонічних складових, що входитимуть у ряд Фур'є, буде при цьому нескінченно велика, тому що при

основна частота функції
. Це означає, що віддаль по осі частот між спектральними лініями на спектральних діаграмах (яка дорівнює основній частоті
) стає нескінченно малою, а спектр – суцільним. Отже при спектральному поданні імпульсних неперіодичних сигналів отримуємо суцільний спектр, який складається з нескінченно великої кількості гармонік із нескінченно малими амплітудами.