Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів (стр. 3 из 4)

Виразимо сказане раніше математично. Амплітуди косинусних та синусних складових k-ї гармоніки періодичного сигналу

описуємо виразами:

(24a)

(24б)

де

(25)

Якщо період T зростає до нескінченності, то вирази (24 а,б), (25) повинні зберігати свій сенс, проте частота

прямуватиме до нуля, і її необхідно замінити нескінченно малою величиною Крім того, добуток при очевидно, може набирати довільних значень і буде неперервною (а не дискретною) функцією k. Тому величину слід розглядати як неперервну змінну частоту , яка змінюється від нуля до нескінченності.

Ураховуючи сказане, коефіцієнти Фур’є для нескінченно великого часового інтервалу розкладу наберуть вигляду:

(26 а)

(26 б)

Із (26 a,б) випливає, що кожна синусна та косинусна складова має нескінченно малу амплітуду.

Введемо позначення:

(27 а)

(27 б)

Тоді вирази (26a,б) відповідно набирають вигляду:

(28а)

(28б)

Співвідношення (27a,б) називають відповідно косинус-перетворенням Фур’є та синус-перетворенням Фур’є.

Із (28a,б) також випливає, що результуючі амплітуди складових спектра на довільній частоті

визначаємо співвідношенням:

(29)

а їх початкові фази:

(30)

У виразі (29) введено позначення:

(31)

Як бачимо з (29), амплітуди dA(

) є нескінченно малі, тому для опису частотних властивостей імпульсного сигналу використовують поняття спектральної густини. Слід відзначити, що спектральна густина – не спектр, а лише спектральна характеристика імпульсу, тому що на кожній конкретній частоті енергія імпульсу та амплітуда відповідної спектральної складової дорівнює нулеві.

Справді, із (29) отримуємо:

(32)

Це означає, що функція

характеризує густину розподілу амплітуд складових суцільного спектра по частоті. Функцію називають модулем спектральної густини, що описує амплітудний спектр імпульсного сигналу, а функцію , яка описує фазовий спектр імпульсного сигналу, називають аргументом спектральної густини.

Отже, імпульсний сигнал

– це сукупність нескінченної кількості гармонічних складових із нескінченно малими амплітудами , початковими фазами , частота яких неперервно змінюється від нуля до нескінченності, що математично можна записати так:

(33)

Розглянемо приклади визначення спектральної густини деяких поширених сигналів.

Одинокий імпульс прямокутної форми (рис. 17а), описуємо виразом:

(35)

Складові

та модуля спектральної густини визначаємо на основі (27 а,б):

Отже, модуль та аргумент спектральної густини, згідно з (30), (31), описуємо виразами:

(36)

(37)

звідки бачимо, що модуль

дорівнює нулеві, якщо аргумент синуса задовольняє умову:

(38)

Ця умова виконується на частотах

(39)

Значення

при знаходимо з виразу:

(40)

Отже, функція

змінюється залежно від знаку Оскільки модуль спектральної густини є величина додатна, то зміна знаку враховується зміною аргументу на величину . На рис. 5) зображено відповідно графіки модуля та аргументу спектральної густини прямокутного імпульсу.

Із виразів (36)–(40) випливає, що вигляд модуля спектральної густини суттєво залежить від тривалості імпульсу

зі зменшенням значення при яких функція стає рівною нулеві, переміщаються по осі частот праворуч, спектральна густина стає більш „рівномірною”.

Рисунок 5 – Характеристики спектральної густини одинокого прямокутного імпульсу

Експоненційний імпульс (рис. 18) описуємо виразом:

(41)

Складові

та визначаємо згідно з (27), використавши табличні значення відповідних інтегралів:

Модуль та аргумент спектральної густини описуємо виразами:

(42)

(43)

Графіки функцій G(

) та зображені відповідно на рис. 6.

Рисунок 6 – Експоненційний імпульс та його спектральні характеристики

4 Спектральна функція детермінованих сигналів

Широкого поширення набула комплексна форма представлення спектральних характеристик імпульсних сигналів, яка часто є зручнішою та компактнішою при аналізі сигналів.

Покажемо перехід до комплексної форми. Для цього використаємо комплексну форму запису ряду Фур’є (20) і запишемо співвідношення (23):

(44)

У (44) враховано, що при Т

кутова частота перетворюється у нескінченно малий приріст , частота k-ї складової ряду k – у поточну частоту , операція додавання переходить в операцію інтегрування. Крім того, введено позначення: