Анализ систем автоматического управления (стр. 2 из 4)

4. Величина ошибки по скорости определяется как e_ск=V₁/K. Для ориентировочной оценки t_пп и σ следует построить переходной процесс h(t) (оператор stepв MATLAB) при v(t) = 1[t] и по нему определить t_пп и σ.

Для получения уравнений состояний в нормальной форме используем дифференциальное уравнение замкнутой системы

D(s)y(t)=Kv(t). Если D(s)=b₀s⁴+b₁s³+b₂s²+b₃s+b₄=0, ,то уравнение состояния имеет вид

Для описания динамических систем в пространстве состояний в Matlabприменяются модели подкласса ss, которые основаны на линейных дифференциальных или разностных уравнениях.

Модель непрерывной системы в подклассе ssимеет вид:

где: х - вектор состояния;v- вектор входа; у - вектор выхода.

Для формирования моделей в подклассе ssпредназначена функция ss

sys=ss(A,B,C,D)

В результате под именем sysполучаем ss-объект с числовыми характеристиками в виде четверки матриц {А, В, С, D}, которые должны иметь согласованные размеры. Матрицу Dв данном случае полагаем равной 0.

Для построения переходного процесса h(t) воспользуемся оператором stepв MATLAB.

Реализация функций имеет вид:

sys=ss([0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-b4/b0 -b3/b0 -b2/b0 -b1/b0],[0 0 0 K/b0]', eye(4), zeros(4,1))

a =

x1 x2 x3 x4

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

x3 0 0 0 1

x4 -104.6 -32.26 -168.5 -36.16

b =

u1

x1 0

x2 0

x3 0

x4 104.6

c =

x1 x2 x3 x4

y1 1 0 0 0

y2 0 1 0 0

y3 0 0 1 0

y4 0 0 0 1

d =

u1

y1 0

y2 0

y3 0

y4 0

Continuous-time model.

>> step(sys)

В результате получим графики представленные на рис. 1.4. Нас будетинтересовать Out(l). Величина ошибки по скорости определяется как:

е_ск=V₁/K= 1,4/3,243 = 0,432>е_скзад = 0,04.

Для ориентировочной оценки t_nnи о следует построить переходной процесс h{t) (оператор stepв MATLAB) при v(t)=1(t) и по нему определить t_пп и σ. Эти величины из графика Out(l) определяются следующим образом:

Время переходного процесса определяется с учетом следующих соотношений: ε_уст=v(t)/(l+K), где v(t)=l[t], а К=3,243 - общий коэффициент передачи разомкнутой системы. Тогда е_уст= 1/(1+3,243)=0,236 и следовательно t_пп из графика Out(l) t_пп ≈50с > t_ппзад = 2.5с.

Рис 1.4

Таким образом, исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества, ее следует скорректировать.

5. Если исходная система не удовлетворяет заданным показателям качества,ее следует скорректировать. В случае применения частотных методовсинтезакоррекции строится желаемая ЛАЧХ L_ж(w). В низкочастотной части желаемой ЛАЧХ при сохранении порядка астатизма (наличие интегратора 1/sв системе)требуемый коэффициент усиления выбирается из соотношенияKz=v₁/e_ск=1,4 / 0.04 = 35. На частоте среза желательно иметь наклонЛАЧХ -20 дБ/дек с протяженностью этого участка не менее одной декады. Далеесреднечастотная часть ЛАЧХ сопрягается с низкочастотной отрезком прямой снаклоном -40(если необходимо -60) дБ/дек, а высокочастотная часть желаемойи исходной ЛАЧХ по возможности должны совпадать.

Учет требований качества переходного процесса: t_пп и σ, запасов устойчивости учитываются при формировании среднечастотной области L_ж(w). Здесь можно воспользоваться графиком (рис. 1.5).

Рис 1.5

По графику рис. 1.5 для заданных значений у и t_nnнаходим w_п, и затем из соотношения w_c= (0.6 - 0.9) w_п, частоту среза w_c.

В наше случае: (как показано на рис.1.5) для у =10%, t_р=3π/ω_п ,откуда для t_рзначениеω_п= 3π/1,5=6,8 1/си ω_c=5 1/с.

Сопряжение среднечастотного участка с низкочастотным и высокочастотным (рис. 1.6) должно быть таким, чтобы была проще коррекция и чтобы изломы, по возможности, были не более чем на 20 дБ/дек (протяженность участка околодекады). Тогда, выберем L₂≈10дБ на частоте ω₂=(0.1-0.5)ω_с=2.5<ω_с=5 и L₃≈ -10 дБ на частоте ω₃⁼25 ≥ ω_с=5. Введем обозначения:

Величину ω₁ найдем из условия равенства значений L_ж(ω₁)=L_исх(ω₁). Это

соотношение приводит к следующему выражению:

В последнем выражении обозначено:

ω’=0.1w₂

L’(ω’)=50 дБ

L’(ω₂)=10 дБ

L(ω₃^p)=L(0.476)=21,18 дБ

L(ω₂)=L(1.2)=-35,743 дБ

Последние две величины находятся из выражения для L_исх(w).

Найденное по формуле значение ω₁=0.098

ЛАЧХ корректирующего устройства с характеристикой L_k(w) соответствует функция:

где:

Общая передаточная функция разомкнутой системы с корректирующим звеном последовательного типа имеет вид:

Далее воспользуемся функцией zpk(z, р, К), где zи р - векторы из нулей и полюсов, aKd- обобщенный коэффициент передачи, sys- любое имя присваиваемое модели. Тогда запись в системе Matlabпримет вид:

sys1=zpk([-1/t2k -1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k -1/t4k],kd)

Zero/pole/gain:

58.2 (s+2.5) (s+0.4762)

-------------------------------------------------

s (s+7.143) (s+4.167) (s+25) (s+0.4762) (s+0.097)

Рис. 1.6

6. Для нахождения переходных характеристик замкнутой системы с корректирующим звеном предварительно сформируем модель в пространстве состояний. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Для нахождения Ф(s) воспользуемся следующей последовательностью команд:

>>sys1=zpk([-1/t2k-1/t3k],[0 -1/t1 -1/t2 -1/t3 -1/t1k-1/t4k],kd)

Zam_ck=inv(l+sysl)*sysl- находится передаточная функция замкнутой системы. (Не оптимальная форма т.к. при такой последовательности команд не производится упрощение за счет сокращения одинаковых элементов числителя и знаменателя. В тоже время на результат дальнейшего расчета это не влияет).

>>Zam_ck=inv(1+sys1)*sys1

Переходная характеристика (рис. 1.7 ) находится с помощью функций: 0,05

Из рассмотрения рис. 1.7 видно, что параметры по заданию выполняются.

Рис 1.7

Для устранения неоптимальности записи в Zam_ck=inv(l+sysl)*syslможно в диалоговом режиме произвести новую запись zpk(.) - сокращая одинаковые элементы числителя и знаменателя в Zam_ck.

2.Исследование линейной импульсной системы автоматического управления

Задание:

1) Найти передаточные функции импульсной САУ: W^*(z) разомкнутой системы, Ф^*(z) – замкнутой системы, Ф_е^*(z) – системы по ошибке. Параметры Т, Т₁, τ₁, К₀, γ входят в выражения передаточных функций в общем виде, т. е. в буквенном виде. Знак «*» будет относиться к передаточным функциям импульсной системы.

2) Найти интервал изменения коэффициента передачи К₀, при котором система будет устойчива: K₀^”≤K₀≤K^’. Для дальнейших исследований выбрать значение K₀=0.5K₀^’

3) Построить графики логарифмических частотных характеристик разомкнутой импульсной системы L^*(λ) и φ^*(λ) при заданных значениях Т, Т₁, τ₁, γ и выбранном K₀. По графикам определить запасы устойчивости системы по модулю ∆L^* и фазе ∆φ^*.

4) Определить ошибку системы по скорости е_ск при входном воздействии v(t)=t(скачок по скорости), а также первые два коэффициента ошибок с₀ и с₁.

5) Вычислить переходной процесс в системе при воздействии v(t)=1[t] (скачок по положению.

Исходные данные:

Таблица 2. Анализ одноконтурного замкнутого импульса

Номерварианта	γ	T	T1	τ1
10	0.3	0.1	0.1	0,05

Анализируется одноконтурная замкнутая импульсная САУ, состоящая из непрерывной части (НЧ) и импульсного элемента (ИЭ), формирующего прямоугольные импульсы длительностью τ=γТ, где Т -период дискретизации, 0≤γ≤1. Исходные данные для расчетов приведены в таблице 2. Передаточная функция непрерывной части имеет вид: