Задачі сигналів та критерії оптимальності рішень (стр. 1 из 3)

Задачі обробки сигналів та критерії оптимальності рішень

1. Класифікація задач обробки сигналів

Існують різні типи задач обробки сигналів, серед яких основними є наступні.

Виявлення сигналу на фоні завад. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з двох гіпотез – діє тільки завада або сигнал з завадою:

Задача розрізнення заданих сигналів. У цій задачі обробки сигналів необхідно прийняти одну з

гіпотез про дію одного із заданих сигналів на фоні завади:

Задача оцінювання параметрів сигналів. У цій задачі обробки сигналів за сумішшю сигналу з завадою

необхідно прийняти рішення про те, яке значення приймає параметр сигналу . При цьому припускається, що на інтервалі часу спостереження сигналу параметр не змінюється:

Задача фільтрації сигналів. У цій задачі обробки сигналів із суміші сигналу з завадою

необхідно виділити параметр сигналу . Припускається, що на інтервалі часу спостереження сигналу повідомлення змінюється у часі. Частинним випадком є задача виділення (фільтрування) сигналу із суміші з шумом .

Зустрічаються також комбіновані задачі обробки сигналів, зокрема, сумісного виявлення (чи розрізнювання) та оцінювання параметрів сигналів.

При вирішенні вказаних задач обробки сигналів припускається відомою інформація про вид корисного сигналу та статичні характеристики завади (щільність ймовірності розподілу, кореляційна функція, математичне сподівання, дисперсія та ін.). Окрім того вважається заданим критерій оптимальності вирішення задачі обробки сигналів. Оскільки сигнали, що поступають на вхід приймального пристрою, носять випадковий характер, то при отриманні оптимальних методів обробки сигналів необхідно використовувати основні положення математичної статистики та теорії прийняття статистичних рішень. Математична статистика одержує певні висновки з експериментальних даних. Тому припускається, що відома реалізація прийнятого сигналу, яка використовується безпосередньо або у вигляді деяких її відліків.

Серед задач статистичного синтезу найважливішими для теорії обробки сигналів є такі: перевірка статистичних гіпотез (коли відносно характеристик розподілу ймовірностей висуваються несумісні гіпотези

і за вектором спостережень вибирається одна з них), оцінювання параметрів розподілу, фільтрування повідомлення з прийнятої реалізації сигналу.

У задачах перевірки гіпотез

прийняття рішення геометрично означає розбиття простору спостережень на -ну область, що не перетинаються:

, . (1)

У цій задачі

-те рішення приймається, коли вектор спостережень потрапляє в область .

При оцінюванні параметра розподілу за спостереженням

з простору знаходиться оцінка параметра , що належить простору параметрів . У задачах фільтрування за прийнятою реалізацією знаходиться оцінка переданого повідомлення з простору .

У математичній статистиці, крім простору спостережень

та функції правдоподібності до апріорної інформації слід додати так звану функцію втрат, яка характеризується для кожної пари; прийняте рішення – істинне твердження. Для задач перевірки гіпотез – це матриця втрат , для задач оцінювання параметрів – функція втрат . Функція втрат означає «платню» за вибирання гіпотези , коли істинна гіпотеза . Невід’ємна функція означає „платню” за вибирання оцінки , коли істинне значення параметра дорівнює .

Для того, щоб порівняти рішення, у математичній статистиці вибирають ті чи інші показники якості – критерії якості правил вибору рішень.Останні називають також алгоритмами обробки спостережень. Спинимося на особливостях критеріїв у задачах перевірки гіпотез, оцінювання параметрів і фільтрування повідомлень.

Залежно від того, яка у дослідника є апріорна інформація, вибираються ті чи інші показники якості вирішення задачі обробки сигналів.

2. Показники якості вирішення задачі обробки сигналів

Показник середнього ризику. У задачах перевірки гіпотез

, має бути задана матриця втрат . При цьому припускаються відомими ймовірності гіпотез – .

Середній ризик вводиться як математичне сподівання матриці втрат:

,

де

– символ математичного сподівання.

Враховуючи, що імовірності

можна обчислити через функцію правдоподібності

,

остаточно маємо

. (2)

Показник середньої імовірності похибки. Середній ризик враховує як похибки, коли номер рішення

не збігається з номером істинної гіпотези , так і правильні рішення, коли . В окремому випадку, якщо матриця втрат проста – , де – символ Кронекера, з (2) одержуємо ймовірність середньої похибки

. (3)

Замість

можна використовувати еквівалентний показник якості – ймовірність правильного рішення

. (4)

Показник апостеріорної ймовірності гіпотези. Матриця втрат

– це додаткова апріорна інформація, що може бути не задана. У цьому разі раціонально вибрати критерій, в якому вона не фігурує. Це може бути апостеріорна ймовірність гіпотези , що обчислюється за формулою Байєса:

. (5)