Линейные метрические, нормированные и унитарные пространства (стр. 1 из 2)
Линейные метрические, нормированные и унитарныепространства
Введение
При решении многих технических и прикладных задач радиотехники возникают вопросы: как объективно сравнить какой сигнал больше другого или как оценить "близость" двух сигналов.
Оказывается, что методы функционального анализа, создав стройную теорию сигналов, в основе которой лежит концепция сигнала как элемента специально сконструированного пространства, позволяют ответить на эти вопросы.
Введем обозначения. Если R – некоторое множество элементов, то f Î R означает, что f является элементом R;
или f Ï R означает, что f не принадлежит R.Множество элементов х Î R, обладающих свойством А обозначается символом
например 
- множество точек, принадлежащих полукругу х2 + y2£ 1, x ³ 0.Если M и N – два множества, то прямое произведение M х N этих множеств определяется следующим образом
то есть представляет собой множество всех упорядоченных пар (x, y), где x Î M, a y Î N.
1. Линейные метрические пространства
Множество R называется линейным пространством, если
1) в R определена операция "сложения", которая подчиняется всем правилам сложения: если f Î R, g Î R, то f + g Î R; в R имеется нулевой элемент 0 такой, что 0 +f = f для всех f Î R;
2) в R определена операция умножения элемента f Î R на числа a из множества К (aÎ К, f Î R Þa f Î R). Чаще всего К – множество всех действительных или комплексных чисел.
В дальнейшем будем рассматривать только линейные пространства.
Рассмотрим отображение Т, которое каждому элементу f Î R однозначно ставит в соответствие элемент h Î R*, где R* является также линейным пространством. Если R* = R, то Т отображает R в самого себя. Отображение Т называется оператором и отображение R в R* записывается в виде уравнения
T f = h (f Î R, h Î R*).
В частном случае, когда R* - пространство комплексных чисел, Т носит название функционала.
Пусть уравнение
T f = h
имеет единственное решение и каждому элементу h Î R* можно поставить в соответствие единственный элемент f Î R. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным по отношению к Т и обозначается Т-1. Таким образом можно записать
f = T-1h.
Пример. Пусть имеется система линейных уравнений
Представим эту систему в матричном виде
Если ввести пространство матриц – столбцов R, то
где 
и
Здесь оператор А – матрица размера nxn 
Если матрица А невырождена, то обратная матрица и является обратным оператором:
Определение. Линейное пространство R называется метрическим, если каждой паре элементов х, yÎR ставится в соответствие вещественное число r (x, y) – расстояние между x и y – удовлетворяющее условиям:
1. r (x, y) ³ 0, если r (x, y) = 0, то x = y;
2. r (x, y) = r (y, x);
3. r (x, y) £r (x, z) + r (z, y) (неравенство треугольника).
Если введением расстояния пространство R превращено в метрическое пространство, то говорят, что в пространстве R введена метрика.
В радиотехнике элементами пространства являются сигналы (токи или напряжения), математическими моделями которых являются функции времени x(t), y(t), ... . Рассмотрим следующее пространство сигналов.
1. С[a, b] - пространство непрерывных на промежутке [a, b] функций с метрикой:
y(t)r(x,y)
2. L2(a, b) - пространство интегрируемых в квадрате функций (x(t) ÎL2(a, b), если
с метрикой 
Определение. Элементы линейного пространства R называются линейно независимыми, если из условия
следует, что
a1 = a2 = . . . = an = 0.
В противном случае элементы f1, f2, . . . , fnсчитаются линейно зависимыми.
Максимальное число линейно независимых элементов определяет размерность dimR пространства R и образуют базис этого пространства. Если m = dimR, то пространство обозначается Rm.
2. Линейные нормированные пространства
Определение. Линейное пространство R называется нормированным, если каждому элементу х ÎR ставится в соответствие вещественное число
("длина" элемента х), называемое нормой х, которое удовлетворяет условиям:1.
, тогда х = 0;2.
(однородность нормы);3.
(неравенство треугольника).Положив для
превращаем нормированное пространство R в метрическое.
Можно и метрическое пространство R превратить в нормированное, если метрика удовлетворяет условиям:
положив 
Рассмотренные ранее пространства сигналов С[a,b] и L2(a,b) становятся соответственно нормированными, если
и
Если положить а = ¥, b = ¥, то квадрат этой нормы в теории сигналов носит название энергии сигнала.
так как такая энергия выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом при напряжении x(t) на его зажимах.
Пример. Имеется треугольный импульс длительности t:
Вычислить энергию и норму сигнала.
Решение.
3. Линейное унитарное пространство
Определение. Линейное нормированное пространство R называется унитарным, если в нем введено скалярное произведение, которое каждой паре элементов x, yÎR ставит в соответствие действительное или комплексное число (x, y), удовлетворяющее условиям
1. (x, y) = (y, x)* ( * - знак комплексного сопряжения);
2. (a1 х1 + a2 х2, y) = a1(x1, y) + a2(x2, y) (a1, a2ÎK);
3. (x, x) ³ 0, если (х, х) = 0, то х = 0.
В унитарном пространстве норма вводится следующим образом
Теорема 1. Для " х, y унитарного пространства R справедливо неравенство Шварца
Равенство имеет место лишь для линейно зависимых элементов.
Теорема 2. Для " х, y унитарного пространства R имеет место неравенство
Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).
Теорема 3. Для " х, y унитарного пространства R выполняется равенство параллелограмма
Равенство имеет место, если один из элементов х или y равен нулю или, когда х = ly(l > 0).
Определение. Два элемента х, yÎR (x¹ 0, y¹ 0) называются ортогональными, если (х, y) = 0.
Система элементов e1, e2, . . . , en, . . . унитарного пространства R называется ортонормированной, если
Пусть система элементов х1, х2, . . . , хn, . . . ортогональна ((xi, xj)=0, i¹j), тогда ее можно нормировать, положив
Из ортонормированности системы следует ее линейная независимость. Обратно – любую линейно независимую систему можно ортонормировать. Процесс ортонормированности следующий. Если система элементов y1, y2, . . . , yn, . . . –линейно независимая, то система e1, e2, . . . , en, . . ., где