Методы расчета цифровых БИХ-фильтров и вид целевой функции (стр. 3 из 5)
1. Использование программы оптимизации для минимизации функции
без каких-либо ограничений на расположение нулей и полюсов.2. После завершения итераций инвертирование всех полюсов и нулей, оказавшихся вне единичного круга. После этого продолжение оптимизации для нахождения нового минимума
.4. Описание метода синтеза фильтра
При разработке современных систем (в том числе и цифровых фильтров) возникает задача оптимального проектирования. Под этим термином понимается процесс разработки наилучшего, оптимального устройства (в каком-то смысле), как правило с помощью ЭВМ. Большинство методов оптимизации являются итерационными по своей природе.
Как было уже сказано, большинство методов оптимизации, в том числе и методов безусловной оптимизации, носит итерационный характер. Это значит, что начиная с какой-либо точки х0, называемой начальным приближением, алгоритм оптимизации генерирует последовательность точек х1, х2,…хn, которая в принципе должна сходиться к точке
. На практике процесс генерирования точек прекращается после конечного S числа шагов. И точка 
выдается в качестве приближения к точке . При этом вычисление очередной точки 
называется к-той итерацией, а точку 
- к-ым приближением.Вектор
называется к-тым шагом. Отсюда 
, к=0,1,2…В основу всех методов оптимизации положено следующее правило: значение целевой функции от итерации к итерации должно убывать. То есть должно выполняться следующее условие:
Данное условие называется условием спуска.
Методы оптимизации, которые удовлетворяют этому условию, называются допустимыми или методами спуска. Основу всех методов спуска составляет следующая модельная схема:
1. к=0, выбирается начальное приближение
;2. Проверяются критерий останова. Если критерий выполняется, то расчеты прекращаются и точка
выдается как приближение 
. В противном случае осуществляется переход к следующему пункту.3. Рассчитывается ненулевой n-мерный вектор
, называемый направлением поиска или направлением шага.4. Вычисляется малое положительное число
(длина шага) такое, что должно выполняться условие спуска: 
5. Выполнение к-той итерации
, к=к+1 и происходит переход к пункту 2.Шаг 4 в модельной схеме предполагает решение задачи одномерной минимизации – нахождение длины шага hk. Чтобы решить эту задачу, необходимо, чтобы вектор
был допустимым направлением поиска или направлением спуска, условием чего является следующее выражение : 
, то есть угол между вектором-градиентом и направлением поиска должен быть тупым.В модельной схеме значение целевой функции F(x) убывает от итерации к итерации. Тем не менее монотонно убывающая последовательность {F(x)} может не сойтись к минимуму по следующим причинам:
1. Как бы хорошо не выбиралось направление
, все может испортить неудачный выбор длины шага hk, при котором величина убывания целевой функции F(x) по итерациям будет слишком быстро стремиться к нулю.2. Решение не удастся получить, если алгоритм расчета направления поиска
выдает векторы почти касательные к линиям уровня целевой функции, где ее значение постоянно. В результате угол между вектором-градиентом и направлением поиска будет стремиться к 90 градусам, то есть их скалярное произведение будет близким к нулю.Следовательно, для того, чтобы получить гарантированно сходящуюся последовательность в соответствии с модельной схемой необходимо, чтобы длина шага hk обеспечивала бы существенное убывание целевой функции от итерации к итерации и, чтобы угол между вектором-градиентом и направлением поиска на каждой итерации был больше 90 градусов.
Помимо этих двух требований для обеспечения сходимости модельной схемы необходимо еще одно условие, которое накладывается на множество уровней целевой функции. Для функции F(x) и числа
множеством уровней называется совокупность всех точек, для которых справедливо выражение F( 
) 
. Дополнительное условие заключается в том, чтобы данное множество L(F( )) было бы ограничено и замкнуто.Таким образом, если
· функция F(x) непрерывна и дважды дифференцируема;
· ее множество уровней ограничено и замкнуто;
· функция F(x) существенно убывает от итерации к итерации и на каждом шаге угол между вектором-градиентом и направлением поиска всегда не равен 90 градусам на фиксированную положительную величину,
то алгоритм модельной схемы генерирует последовательность точек, для которых справедливо
.Сходимость такого рода называется глобальной, так как она не предполагает близости начального приближения точки
к стационарной точке .Четвертый шаг модельной схемы предполагает вычисление длины шага, то есть скалярной величины
, которая должна удовлетворять условию спуска: 
Для того, чтобы выбрать
, удовлетворяющий этому условию, необходимо минимизировать значение целевой функции вдоль направления как функцию одной переменной (скалярной) h. То есть минимизировать функцию: 
Чем точнее будет находиться минимум функции
, тем быстрее будет сходиться алгоритм модельной схемы. С другой стороны очень точное нахождение минимума 
потребует больших вычислений функции, а следовательно вычисления целевой функции.Для нахождения минимума
используются две группы методов одномерной оптимизации:1. Эффективные методы одномерного поиска (метод Золотого сечения и метод Фибоначчи);
2. Методы полиномиальной интерполяции (Пауэлл, Ньютон, сплайн-интерполяция).
Для конкретизации модельной схемы помимо процедуры вычисления длины шага hk необходимо также задавать алгоритм расчета требуемого направления поиска
.В отличие от одномерного случая, где возможно всего лишь два направления движения ( вперед и назад), уже в двумерной задаче множество направлений поиска является бесконечным.
В этом случае возникает проблема выбора направления поиска
. Именно способ вычисления и определяет «лицо» алгоритма безусловной минимизации. Поэтому названия алгоритмам оптимизации даются по реализованным в них процедурам вычисления .