Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (стр. 2 из 6)

2 Формування множини припустимих варіантів системи на основі морфологічного підходу

При задаванні множини припустимих варіантів технічних систем широкого застосування набув морфологічний підхід, для якого характерні такі чинники:

-виявлення максимального переліку основних функцій системи та декомпозиція системи на підсистеми за функціональними ознаками

;

-визначення різних альтернативних способів реалізації кожної підсистеми і задання припустимих варіантів їх побудови

;

-формування різних варіантів побудови системи в цілому на основі морфологічних класів – множини варіантів побудови кожної підсистеми, для яких виконуються умови

, .

Формується морфологічна таблиця (табл. 1). Кожен варіант побудови системи визначаеться різними можливими варіантами підсистем. При формуванні припустимої множини варіантів системи повинні враховуватися обмеження на структуру, параметри і технічну реалізацію окремих підсистеми та системи в цілому, а також припустимі комбінації поєднання окремих варіантів підсистем між собою. Кількість можливих варіантів системи визначається так:

.

Таблиця 1 - Морфологічна таблиця для задання множини припустимих варіантів системи

Морфологічні класи	Можливі способи реалізації підсистеми	Кількість способів реалізації системи
....	...	...
...	...	...

3 Вибір критерію оптимальності системи

Дуже важливим при розв'язанні задач оптимізації є питання вибору критерію оптимальності системи. Саме критерій оптимальності визначає істинну цінність проектованої системи. Ніякі зручності математичного чи іншого характеру не можуть компенсувати шкідливих наслідків застосування неадекватного критерію оптимальності системи.

Вибір критерію оптимальності, як уже зазначалося, зв'язаний з формалізацією уяви замовника системи про її оптимальність. Існує два підходи до опису переваги одного варіанта системи над іншим: ординалістичний і кардиналістичний.

Кардиналістичний підхід до опису переваги замовника приписує кожній системі

якесь числове значення функції корисності . Функція корисності визначає відповідний порядок (або перевагу) на множині

тоді і тільки тоді, коли для різних варіантів виконуєтся нерівність . У цьому випадку кажуть, що функція корисності є індикатором переваги . Фактично цей підхід зв'язаний із заданням такої скалярної цільової функції, оптимізація якої у загальному випадку може привести до вибору єдиного найкращого варіанту системи.

Однак на початкових етапах проектуваннях систем задати скалярну функцію корисності досить складно, тому спочатку вводять сукупність показників якості та зв’язаних з ними цільових функцій (1). Це пов'язано з такими причинами: багатогранність технічних вимог, які висуваються до проектуємої системи; необхідність забезпечення оптимальності системи за різних умов її роботи; система складається з декількох взаємозалежних між собою підсистем і оптимальність системи в цілому визначається ефективністю її складових частин.

У зв’язку з тим, що систему

доводиться характеризувати сукупністю показників якості (цільових функції), це ускладнює процес вибору оптимальних варіантів систем. При цьому мають місце три випадки: показники якості не пов'язані між собою;показники якості зв'язані між собою, але є узгодженими;показники якості зв'язані між собою і є конкуруючими (антагоністичними).

У першому випадку знаходження оптимальних варіантів системи виконується шляхом оптимізації по кожній із цільових функцій незалежно

. (2)

У другому випадку оптимальні варіанти можуть знаходитися також шляхом оптимізації окремих цільових функцій, тобто цей випадок близький до першого.

У третьому випадку оптимуми по різним цільових функціях не збігаються. Розв’язанням цієї задачі є узгоджений оптимум цільових функцій. Узгоджений оптимум полягає в тому, що досягається мінімальне (максимальне) значення кожнієї цільової функції за умови, що інші цільові функції приймають фіксовані, але довільні значення.

Ординалістичний підхід апелює до порядку (краще-гірше) і базується на введенні певних бінарних відношень на множині допустимих систем. У цьому випадку поняття переваги замовника системи - це бінарне відношення

на множині допустимих систем , яке відображує уяву замовника системи, що система краща за систему : .

На практиці часто при виборі системи на множині

можна керуватися відношенням строгої переваги , що є асиметричним і транзитивним. При цьому система називається оптимальною за відношенням , якщо не існує іншої системи , для якої справедливе відношення

. Множина оптимальних систем за відношенням означається як . Залежно від структури допустимої множини і властивостей відношення множина оптимальних систем може включати єдиний елемент, скінченне або нескінченне число елементів. Якщо відношення нероздільності збігається з відношенням рівності , то множина (якщо вона не порожня) складається з єдиного елемента.

Із введенням сукупності цільових функцій кожна система відображується на простір векторних оцінок (критеріальний простір). При цьому вказане відношення строгої переваги існує і для оцінок. Узгодженість відношення переваги на множині проектних рішень

і просторі векторних оцінок встановлює аксіома Парето. Згідно з нею для будь-яких двох векторних оцінок , що задовольняють векторну нерівність , завжди виконується відношення .