Вибір оптимальних варіантів систем методами векторної оптимізації (стр. 5 из 6)

. (12)

Тобто відшукання оптимальної оцінки зводиться до розв'язання задачі скалярної оптимізації функції багатьох змінних

.

При цьому можуть бути побудовані адитивна, мультиплікативна, полінійна функції цінності.

Процедура утворення функції цінності

інколи називається згорткою векторного критерію .

Операція згортки можлива, якщо:

- частинні критерії кількісно сумарні по важливості, тобто кожному з них відповідає певне число

, яке визначає його відносну важливість відповідно до інших критеріїв;

- частинні критерії є однорідні, тобто кількісно порівнюються в одній вимірності.

Існують різноманітні форми подання узагальненого скалярного критерію та вибору відповідних оптимальних рішень. Зокрема, це такі способи згортки частинних критеріїв:

- формується узагальнений критерій, чисельник якого складає добуток критеріїв, які підлягають максимізації, а знаменник - добуток критеріїв, які підлягають мінімізації;

- формується узагальнений критерій з використання елементів теорії адитивної корисності, тобто підсумовування частинних критеріїв за певною вагою коефіцієнтів вибору чисельника і знаменника;

- формується узагальнений критерій відносно всіх частинних критеріїв.

Узагальнена функція цінності може набирати такого вигляду

, (13)

де

- одновимірні функції цінності, що характеризують цінність системи за -м показником якості; - шкалюючі коефіцієнти.

Задача побудови функції (13) зводиться до оцінки коефіцієнтів

, вибору виду функцій , перевірки їх незалежності за перевагою , перевірки узгодженості побудованої функції цінності. У ряді випадків може бути використана функція цінності (13) у вигляді

. (14)

При цьому використовуються різні методи одержання додаткової інформації про значення коефіцієнтів

. Зокрема, це добре розроблені методи експертних оцінок. Вони зводяться до опитування вибраної групи експертів про цінність одержаних Парето-оптимальних варіантів системи, відносну важливість показників якості та інше. Існують добре розроблені методики врахування одержаної інформації, які реалізовані у методі Сааті.

Інколи для вибору єдиного варіанту обмежуються так званою пороговою оптимізацією: найбільш вагомий критерій піддається оптимізації, інші включаються до системи обмежень. Слід зауважити, що існує також багато інших принципів та підходів до вибору єдиного варіанту з використанням скалярних критеріїв оптимальності. Фактично співвідношення (14) визначає байесовий детермінований критерій оптимальності. За умов невизначеності про умови вибору рішень використовує методи теорії ігор. Такі ситуації вибору проектних рішень при створенні систем часто називають «іграми з природою». Для прийняття рішень вишукують найкращу стратегію, з використанням критерія Вальда, критерія Севіджа, критерія Гурвіца, критерія Лапласа та інших.

Вибір оптимальних рішень на основі теорії розмитих множин. Цей підхід базується на тому, що через апріорну невизначеність поняття «найкращий варіант системи» неможливо визначити точно. Можна вважати, що це поняття являє собою розмиту множину і для оцінки системи можуть бути використані основні положення теорії розмитих множин. У загальному випадку розмита множина

на множині задається функцією належності : , яка зіставляє з кожним елементом дійсне число на інтервалі . Це число називається ступенем належності елемента розмитій множині . Чим воно ближче до , тим вищий ступінь належності. Функція є узагальненням характеристичної функції множин, яка набуває лише два значення: - при і - при . У випадку дискретних множин використовується запис розмитої множини як множини пар .

Згідно з цими основними положеннями кожний показник якості системи може задаватися у вигляді розмитої множини

, де - функція належності конкретного -го показника якості розмитій множині найкращого значення.

Такий запис окремого показника якості має високу інформативність, оскільки дає уяву про фізичну природу показника якості, конкретне його значення і цінність відносно найкращого (екстремального) значення, що характеризує функція належності. Універсальна форма функції належності, яка може бути використана як скалярна цільова функція, має такий вид

. (15)

Перевагою такої цільової функції є те, що вибором параметра

може бути реалізовано широкий клас функцій від лінійної адитивної за умови , до сугубо нелінійної при

.

Вибір оптимального варіанту при строго впорядкованих за важливістю показниках якості.Інколи для замовника системи за результатами аналізу Парето-оптимальних варіантів, а також їх БДО виявляється бажаним одержати якомога більше значення одного з показників якості, наприклад

, навіть за рахунок погіршення інших показників якості. Це означає, що показник є важливішим порівняно з іншими показниками якості.

Можливий також випадок, коли весь набір показників якості

, строго упорядкований за важливістю, тобто показник більш важливий, ніж показники , показник більш важливий, ніж показники і т.д. Цьому відповідає ситуація, коли при порівнянні оцінок систем використовується лексикографічне відношення. Наведемо означення цього відношення та особливості використання при виборі єдиного варіанту системи.