Алгоритми розрахунку періодичного режиму в нелінійній схемі (стр. 2 из 3)

На перший погляд уявляється, що явні методи мають перевагу над неявними тому, що в останніх значення

виходить із рішення нелінійного рівняння, а в явних розраховується за аналітичним виразом. Але як свідчить аналіз, неявні методи більш стійкі. Отож, вони допускають при заданій точності більший крок.

В даний час в алгоритмах чисельного інтегрування проблемно-орієнтованих програм використовується кінцево-різницеві методи, які мають бажану стійкість та дозволяють оцінювати локальну методичну похибку на кожному кроці. За допомогою цієї оцінки підтримується максимальний розмір кроку і вибирається мінімальний порядок методу. Для зменшення об’єму розрахунків в неявних методах

розраховується спочатку за відповідною явною формулою (прогноз), а потім уточнюється за допомогою неявної (корекція). Після вибору методу чисельного інтегрування програміст основні зусилля направляє на створення ефективного алгоритму, який визначає розмір кроку.

Відносно методів інтегрування, спираючись на розклад невідомої функції в ряд Тейлора, наприклад методом Рунге-Кутта різних порядків, можна зазначити, що вони знаходять обмежене використання. Пов’язано це з двома обставинами: по-перше, ускладнюється оцінка локальної методичної похибки на кожному кроці інтегрування; по-друге, для визначення

треба m разів обчислити значення першої частини диференційних рівнянь (m – порядок методу), причому ці значення неможливо використовувати на інших кроках. Друга властивість знижує ефективність розрахунків порівняно з кінцево-різницевими формулами. Методом Рунге-Кутта зручно починати чисельне інтегрування, якщо воно ведеться за багатокроковими різницевими формулами, для отримання необхідних початкових значень. Справа в тому, що методи Рунге-Кутта виявляються явними та однокроковими. Тому використання їх на початковій стадії обчислення не дуже позначиться на загальних часових втратах, а необхідна точність забезпечується правильним вибором порядку.

3. Спектральні методи

1 Математичний зміст спектральних методів. Розглянемо розрахунок періодичного режиму в нелінійному пристрої на прикладі конкретної схеми (рис. 1), складеної з паралельно з’єднаних провідностей y(p), нелінійного опору з вольт-амперною характеристикою

та нелінійної ємності, в якій відома вольт-кулонівська характеристика . Аргументом лінійної провідності є оператор диференціювання .

Рисунок 1 – Схема, за допомогою якої ведеться розрахунок періодичного режиму

На вході схеми діє періодичне джерело струму із періодом

. ( 2)

При заданих y(p),

, , потрібно знайти періодичну з періодом напругу , яка буде рішенням диференційного рівняння, записаного в символічній формі

.

Подамо шукану напругу в формі ряду Фур’є:

. (3)

Задача зводиться до визначення спектральних компонентів в (3).

Очевидно, при періодичному режимі струм нелінійного опору та заряд нелінійної ємності будуть також періодичними функціями часу

, (4)

. (5)

Важливо мати на увазі, що кожна амплітуда струму та заряду в (4) і (5) буде, в силу (3), функцією всіх комплексних амплітуд шуканої напруги.

Щоб отримати рівняння для

, підставимо (3), (4) та (5) в диференційне рівняння

.

Тут усі комплексні амплітуди постійні. Значить, оператор диференціювання діє тільки на експоненційні функції

; .

Отже, можна записати

,

де

={1 при k=0, ±1; 0 при k 0, ±1}.

Отримане співвідношення являє собою лінійну комбінацію функцій

. Оскільки вони лінійно незалежні, то складена лінійна комбінація може обернутись в нуль тільки при рівності нулю кожного співмножника в квадратних дужках:

, (6)

Вище зазначалось, що кожна амплітуда струму та заряду є функцією комплексних амплітуд напруги

, (7)

Тому (6) являє собою нескінчену систему трансцендентних (нелінійних) рівнянь відносно комплексних амплітуд напруг.

При практичних розрахунках досить врахувати постійну складову і кілька гармонік напруги. Так можна зробити тому, що розглянуті схеми вибірні. Звичайно, кількість гармонік, які беруться до уваги, повинен визначити розробник. Зазначимо, що в інженерній методиці розрахунку подібних схем, враховується лише одна гармоніка.

Допустимо, встановлено, що досить полічити N гармонік. Тобто, система (6) складається з (2 N + 1) рівнянь. Таким чином, розрахунок періодичного режиму спектральним методом зводиться до рішення системи нелінійних рівнянь. Різновиди методу визначаються способом рішення цієї системи.

Потрібно взяти до уваги особливість рівнянь (6): в них нелінійні функції (7) в деяких випадках можна описати аналітично. У зв’язку з цим, далі не розглядатимемо способи рішення (6), які спираються на аналітичне уявлення функції (7). Тому нижче зупинимося на двох способах: перший – ітераційний метод Ньютона; другий – різновид пропонованого у методу, що спирається на інтегрування диференційних рівнянь.

2 Алгоритм рішення системи нелінійних рівнянь методом Ньютона.

Запишемо рівняння (17) у векторно-матричній формі

, (8)

де

- вектор комплексних амплітуд струму комплексних амплітуд напруги;

- вектор нелінійного опору;

- вектор комплексних амплітуд заряду нелінійної ємності;

- вектор складової джерела струму;

та - квадратні діагональні матриці. Розмірність векторів та матриць дорівнює 2N+1.

Ліва частина формули (7), виявляється трансцендентною векторною функцією, аргумент якої – вектор напруги

. (9)

За допомогою формули (7) отримаємо співвідношення для методу Ньютона стосовно (9)

. (10)

Верхній індекс вектора напруги вказує на номер ітерації.

Якщо в (9) підставити

, то в лівій частині не отримаємо нуль. Тому вектор – функцію називають незв’язною.

Продиференцюємо (10) по вектору

. (11)

Нагадаємо, що похідна від вектор-функції незв’язності за векторним аргументом виявляється матрицею Якобі. Як видно, вона складається з трьох складових. Позначимо

і елементи матриць та .Тоді