Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі (стр. 3 из 5)

. (7)

Вказана властивість породила ще одну назву характеристичних корнів – мультіплікатори (помножувачи). Послідовне використання цієї властивості відносно рішення

дозволяє записати

Тобто, при

рішення зменшується, а при зворотній нерівності зростає. Тепер стає зрозумілим зміст теорем про стійкість періодичного режиму.

Рішення, для якого вірно (7), можна переписати в такій формі:

, (8)

де

- характеристичний показник,

- обмежена періодична функція.

Теореми Ляпунова та Андронова-Витта можна сформулювати інакше, вводячи характеристичні показники замість характеристичних коренів. Тепер стійкість має місце при

За допомогою (6) можна отримати рівняння для характеристичних показників. Попередньо (6) треба записати у вигляді

(9)

В (9) позначено:

;

- середнє значення функцій

за період модуляції;

- періодичні функції з нульовим середнім.

Щоб знайти потрібне рівняння, підставимо в (9)

Нагадаємо, в рядах Фур’є для

члени при

дорівнюють нулю.

Після елементарних перетворювань маємо

Покладемо

. Тоді

Складена лінійна комбінація лінійно незалежних функцій

може дорівнювати нулю тільки при перетворенні в нуль кожного співмножника, взятого в фігурні дужки:

, (10)

Отримали для спектральних складових напруги

нескінечнну систему алгебраїчних рівнянь з нульовою правою частиною. Щоб рішення системи не було нульовим, треба вимагати рівності нулю її головного визначника

. Цей нескінченний визначник зветься визначником Хілла. Він залежить від

, що і дає шукане рівняння:

Нехай

- елемент визначника, належний до k-го рядка та m-го стовпця. Із (10) можна отримати

, (11)

За допомогою (11) знайдемо, що елементи головної діагоналі (k=m) дорівнюють одиниці.

Використовуючи (11), можна встановити наступну властивість: заміна

на

не змінює значення визначника

Це виникає тому, що змінивши нумерацію рядків після вказаного підставлення, отримаємо той самий визначник.

З цієї властивості витікає: якщо

- корінь визначника, то коренями будуть

. Отже, визначник має нескінченне число коренів. Встановлено, що кожному комплексному кореню відповідає комплексно-спряжений.

Нескінченний визначник Хіла вдалося звести до виразу, який для (9) має вигляд:

, (12)

де

- корені знаменика z(p) в (9),

n – порядок рівняння (9),

- безкінечні чисельні визначники, не вміщаючи

, які знаходяться із наступного рівняння:

. (13)

Значення чисельних визначників можна розраховувати із наперед заданою точністю. Доведено, що в сумі вони дорівнюють нулю.

Наприкінці визначимо суть полінома, вхідного до знаменника опору

в рівнянні (9). Із виразу

витікає, що цей – опір між точками вмиканняння елементів з періодично змінними параметрами, в який увійшли середні значення змінної провідності та ємності. Знайти цей опор можна, підімкнувши до відповідних точок джерело струму

, визначивши викликану ним напругу v та використав рівність

. Звідки визначимо, що

- характеристичний поліном схеми для малих збурень, в якій

. Цю схему назвемо усередненою, оскільки вона крім лінійних елементів вміщає середнє значення періодично змінних провідностей та ємностей.

4. Зв’язок розрахунку періодичного режиму із аналізом стійкості

Аналіз стійкості періодичного режиму нелінійної схемі повинен бути пов’язано з методом, за яким цей режим визначається. Інакше можна отримати результати, що не мають ніякого фізичного смислу. Для приклада звернемо увагу на частотну характеристику контуру із нелінійною ємністю. Дослідження стійкості, що виконане в відриві від методу розрахунку періодичного режиму, може привести до того, що точки із вертикальними дотичними не будуть визначати межі стійкості.

Так, як же повинні бути зв’язані ці дві задачі – розрахунок періодичного режиму та аналіз його стійкості? Щоб зрозуміти цей зв’язок скористаємось спектральним уявленням.

Припустимо, періодичний режим розраховується часовим методом. Тоді, на спектральний склад усталеного процесу обмеження не накладаються. Тому можна казати, що враховано багато гармонік (можливо нескінченна кількість). Цю обставину і треба мати на увазі при обранні методу дослідження стійкості: при аналізі повинно враховуватися багато гармонік. Очевидно підходять обидва розібрані вище методи, які опираються на характеристичну матрицю і нескінченний визначник Хіла.

Зараз припустимо, що періодичний режим був знайдений спектральним методом і було взято до уваги N гармонік. Нехай результати обліку ще однієї гармоніки практично співпали з попередніми. Це означає, що на лінійну частину схеми повинні бути накладені певні вимоги. Провідність

на частотах вище

повинна практично замикати затискачі, до яких ввімкнені нелінійні елементи. Якщо така вимога не виконується, то результати двох останніх розрахунків, про які мовилося вище, будуть відрізнятися один від одного. Таким чином, коли періодичний режим розраховано із врахуванням

гармонік і його результати припускаються достовірними, то модуль опору лінійної частини схеми на частотах, вище

(

- період розглядаємого режиму), дорівнює нулю або нескінченно великий. Цей факт і повинен лягти в основу обрання методу аналізу стійкості. Мабуть, в цьому випадку доцільно скористатися скінченим визначником Хіла, зберігаючи в ньому відповідне число рядків та стовпців.