Аналіз стійкості процесів в нелінійній схемі (стр. 1 из 5)

Контрольна робота з теми:

АНАЛІЗ СТІЙКОСІ ПРОЦЕСІВ В НЕЛІНІЙНІЙ СХЕМІ

1. Основні поняття теорії стійкості

Будемо розглядати стійкість двох станів нелінійних схем – періодичного режиму та положення рівноваги.

В положенні рівноваги схема знаходиться при вимкненій зовнішній дії, але при збережені джерел постійної напруги. Отже, в положенні рівноваги в елементах схеми протікають тільки постійні струми і на елементах діють лише постійні напруги. Цей стан має бути нестійким в автогенераторі і, навпаки, стійким в підсилювачі, помножувачі частоти та інших подібних пристроях.

Нагадаємо, що означає стійкість якого-небудь стана системи. Щоб вирішити стійкий виділений нами стан, треба вивести систему з нього і прослідкувати за її поведінкою. Якщо з часом система повернеться до початкового стану, або приблизиться до нього, то цей стан зветься стійким, або по-іншому – стійким за Ляпуновим. Якщо з часом система віддаляється від початкового стану, то його звуть нестійким.

Прийнято наступну термінологію. Початковий стан системи отримав назву незбудженого руху. Процес, протікаючий в системі після того, як вона виведена з початкового стану, зветься збуреним рухом. Різницю між вказаними рухами назвали збуренням. Очевидно, при стані, стійким по Ляпунову, збурення протягом часу не зростають, при асимптотичній стійкості – прямує до нуля, а при нестійкому – зростають. Таким чином, для аналіза стійкості треба знати поведінку збурень. Складність задачі про їх поведінку визначається початковими значеннями збурень – довільне воно або мале порівняно з шуканим рухом. У зв’язку з цим стійкий стан, знайдений при довільному, але кінцевому відхиленню від нього, звуть стійким в великому. Стійкий стан, отриманий при малому відхиленні від початкового руху, звуть локально стійким (стійким в малому).

Знайдемо рівняння, якому підпорядковані збурення

. (1)

Нехай

- стаціонарний стан, стійкість якого досліджується. При маємо положення рівноваги, а при - періодичний режим. Запроваджуючи збурення , запишемо збурений рух

. (2)

Підставимо (2) в (1) і врахуемо, що

- рішення (1):

(3)

Отримаємо, що довільні збурення описуються автономним (без правої частини) нелінійним диференційним рівнянням. Нелінійність рівняння зберігається при усякому шуканому стані – положенні рівноваги або періодичному режимі.

Розглянемо малі збурення, для яких справедливі умови

. Це дає можливість нелінійну функцію з (3) розкласти в ряд по ступеням малих відхилень, обмежуваючись двома першими членами,

,

.

Підстановка в (3) дає

(4)

Тут квадратні дужки вказують на те, що похідні беруться при

.

Коли

, то , - диференційна провідність і ємність в робочій точці нелінійних елементів. Якщо , то , .

Таким чином, малі збурення описуються лінійним диференційним рівнянням, коефіцієнти якого постійні в випадку, коли розглядається стійкість положення рівноваги, і виявляються періодичними функціями часу для збурень періодичного процесу.

Очевидно, що для виділених станів схеми аналіз стійкості у великому найбільш складний, оскільки він зв’язаний з рішенням диференційного рівняння. Наступним за складністю буде вивчення локальної стійкості періодичного режиму, а самим простим – аналіз локальної стійкості – в малому, або в великому – важливо при схемотехнічному проектуванні розглядених вузлів.

В автогенераторі положення рівноваги повинно бути нестійким, тому можна обмежитися вивченням локальної стійкості. Той самий стан в підсилювачі потужності і подібних схемах повинен бути стійким. В ході налагодження таких вузлів відхилення від стана рівноваги може і не бути малим. Тому необхідний аналіз стійкості в великому.

Періодичний режим в схемах, де він є робочим, повинен бути стійким, причому бажано, щоб стійкість збереглася і при великих відхиленнях. Стійкість періодичного режиму в великому можливо замінити вимогами про існування в схемі єдиного періодичного режиму. Нелінійні схеми, наділені вказаними властивостями, звуть конвергентними.

З’ясуємо характер стійкості, котрий нас цікавить у розгляданих схемах, розглянемо питання, як доцільно проводити аналіз.

Насамперед відмітимо, що критерії конвергентності встановлені лише для кіл з нелінійними опорами. Їх в загальному випадку не можна розповсюджувати на схеми, в яких є нелінійні ємності та індуктивності. Далі, якщо встановлена стійкість положення рівноваги в великому, наприклад, в підсилювачі потужності, то це не гарантує навіть локальної стійкості періодичного режиму.

Прийнявши до уваги викладене, а також складність вивчення стійкості положення рівноваги в великому, приходимо до висновку: на сьогодення змушені обмежиться аналізом стійкості в малому. Це не дозволяє стверджувати, що в проектуємій схемі не виникають ніякі паразитні ефекти. Останнє примусить нас робити в ряді випадків деякі додаткові обчислення. Наприклад, встановити, чи виходить підсилювач потужності із положення рівноваги в періодичний режим при подачі на вхід схеми зовнішнього сигналу.

2. Методи аналізу стійкості положення рівноваги

Малі збурення положення рівноваги описуються лінійним диференційним рівнянням з постійними коефіцієнтами. Такотримаємо

. (5)

Тут

- малі збурення, , - диференційна провідність і ємність в робочій точці, - оператор диференціювання, - провідність лінійної частини схеми.

Вираз (5) звуть рівнянням першого зближення. Йому відповідає лінійна схема, яка виходе із шуканої шляхом ввімкнення зовнішнього джерела живлення та заміни нелінійного опора і ємності на лінійні елементи з номіналами

і . Таку схему називають лініаризованою.

Для вирішення питання відносно локальної стійкості використовується теорема, яку довів А.М. Ляпунов. Приведемо її в такій формі: якщо усі корені характеристичного полінома рівняння першого приближення мають від’ємні дійсні частини, то положення рівноваги асимптотично стійке. Якщо серед характеристичних коренів є хоч один з додатною дійсною частиною, то положення рівноваги нестійке.

З теореми витікає, що рівняння першого зближення не вирішує питання про стійкість при характеристичних коренях з нульовою дійсною частиною. Це так званий, критичний випадок. Ми не будемо на ньому зупинятися, вважаючи, що малою зміною якого-небудь параметра схеми ми від нього відходимо.

Таким чином, для аналізу стійкості положення рівноваги треба вирішити дві задачі: знайти характеристичний поліном лініарізованої схеми і встановити знак дійсної частини коренів цього поліному.

Друга задача була вирішена ще в минулому столітті. Це дало критерії стійкості, пізніше названими алгебраїчними. За їх допомогою про знак дійсної частини характеристичних коренів гадають по співвідношенню між коефіцієнтами полінома. Оскільки критерії стійкості, як алгебраїчні, так і частотні, докладніше розглянуті в ряді підручників, то обмежимось тут такими ствердженнями: найбільш зручний для обчислень на ЕОМ критерій Рауса; проводити за його допомогою аналіз можна лише при додатності усіх коефіцієнтів характеристичного полінома (інакше – якщо хоч один з коефіцієнтів від’ємний – серед коренів полінома будуть такі, у яких дійсна частина додатна і які називаються правими, тому що вони розташовуються в правій частині комплексної площини).

З появою ЕОМ і розвитком програмного забезпечення можливо вирішення другої задачі, пов’язаної з розрахунком характеристичних коренів. Це дає користувачу більш повну інформацію, дозволяючи, наприклад, при нестійкості локалізувати по мінімальній частині правих коренів елементи схеми, які більше всього впливають на стійкість.

Звернемось до першої задачі. Послідовність дій при її вирішені може бути такою. В шуканій нелінійній схемі знаходиться положення рівноваги – робоча точка на характеристиках нелінійних елементів. Ці характеристики лініарізуються в малому оточенні робочої точки і робиться перехід до лініарізованої схеми. Така схема є еквівалентною для малих відхилень від положення рівноваги. Для неї складається характеристичний поліном.