Системы случайных величин (стр. 2 из 3)
Чтобы исключить влияние разбросанности СВ на корреляционный момент, его делят на произведение среднеквадратических отклонений СВ Xи СВ Y. Получается безразмерная величина, имеющая название "коэффициент корреляции":
. Если СВ Xи СВ Yнезависимы, то всегда 
Значит, независимые СВ всегда некоррелированы, однако обратное не всегда верно. Коррелированность характеризует не всякую взаимозависимость, а лишь линейную статистическую взаимозависимость. Это означает, что при возрастании одной СВ МО другой имеет тенденцию возрастать (или убывать) в среднем по линейному закону. Коэффициент корреляции характеризует степень разбросанности координат точки относительно линейной зависимости между Xи Y. Если СВ Xи Yимеют линейную функциональную зависимость, то коэффициент корреляции равен ±1, в зависимости от знака наклона этой функции. При этом говорят о положительной или отрицательной корреляции.Во многих радиотехнических устройствах имеются типовые радиотехнические тракты, состоящие из трех каскадно соединенных элементов: входной линейной цепи, нелинейного безынерционного элемента и выходной линейной цепи. В качестве этих элементов могут выступать различные электрические цепи с заданными характеристиками. На вход радиотехнического тракта воздействует аддитивная смесь сигнала и помехи:
,где s (t) - сигнал в виде гармонического или квазигармонического колебания; x (t) - гауссов процесс с равномерной спектральной плотностью мощности (белый или квазибелый шум).
Известно [2], что в таких условиях при решении задачи обнаружения критерием качества работы устройства может служить отношение сигнал/помеха, которое определяется тремя выражениями:
система случайная величина
отношение сигнал/помеха по уровню
, где As - амплитуда сигнала; 
- дисперсия шума;отношение сигнал/помеха по мощности
;энергетическое отношение сигнал/помеха
, где 
- энергия сигнала; 
- спектральная плотность мощности помехи (белого или квазибелого шума).Если длительность сигнала
, то 
, а 
, где 
- ширина энергетической полосы квазибелого шума.Плотность вероятности сигнала (со случайной начальной фазой)
, 
, а шума - 
.Если сигнал и помехи независимы, то
, и плотность вероятности их смеси определяется интегралом свертки: 
.6. Произвольное число СВ
Часто приходится иметь дело в статистической радиотехнике с системами многих СВ. В этом случае полной характеристикой системы СВ может служить закон распределения всей системы СВ. Например, имеется многоканальная в пространстве антенная система, с помощью которой прием ведется в нескольких точках пространства. При этом и обработка сигналов в приемных пунктах производится совместно. Для представления законов распределения системы более чем трех СВ приходится использовать многомерное пространство. Связь между функцией распределения и плотностью вероятности в этом случае обеспечивается n-мерной производной (n - число СВ, входящих в систему).
Вероятность попадания координат случайной точки в ограниченное пространство n-мерной системы определяетсяn-кратным интегрированием по этому пространству плотности вероятности.
7. Числовые характеристики системы нескольких СВ
Закон распределения системы СВ (функции распределения или плотности вероятности) является полной, исчерпывающей характеристикой системы нескольких СВ. Однако не всегда возможно применять такое описание СВ. Например, из-за ограниченности экспериментального материала или из-за того, что такое описание обладает излишней громоздкостью. Кроме того, очень часто тип распределения известен (например, n-мерный нормальный). Поэтому применяют описание системы СВ с помощью ограниченного числа числовых характеристик. К таким характеристикам относятся:
Nматематических ожиданий (МО), характеризующих средние значения входящих в систему СВ;
Nдисперсий, характеризующих степень их разбросанности относительно своих МО;
N (N - 1) корреляционных моментов, определяющих попарную корреляцию СВ в системе:
.Следует отметить, что корреляционный момент при i= jпревращается в дисперсию, т.е.
.Часто все корреляционные моменты располагают в виде так называемой корреляционной матрицы:
.По определению корреляционного момента,
. Следовательно, корреляционная матрица всегда "симметрическая", т.е. ее элементы, симметричные относительно диагонали, равны между собой. Обозначают ее символом 
. Вдоль главной диагонали располагаются дисперсии. Если все СВ, входящие в систему СВ, некоррелированы, то все элементы матрицы, кроме диагональных, равны нулю. Иногда пользуются нормированной корреляционной матрицей, составленной из коэффициентов корреляции: 
. Если все СВ некоррелированы, то образуется единичная матрица, у которой диагональные элементы - единицы, а недиагональные - нули.В отношении с/п = |y (t0) |/ sn вых числитель должен быть максимальным в заданный момент времени, поэтому необходимо рассматривать фазовый спектр. Так как спектр представлен в виде косинусных колебаний, они должны суммироваться на выходе цепи в фазе, чтобы максимальное мгновенное значение было при t = t0, т.е. jк (w) = -js (w) -wt0- такие требования к фазовой характеристике обеспечат заданные требования по максимизации y (t0). Модуль передаточной функции цепи должен с точностью до постоянного множителя повторять модуль спектральной плотность сигнала K (w) = AS (w). С учетом требований к фазовой характеристике цепи K (jw) = AS (w) exp [-jjs (w)] exp (-jwt0), так как S (jw) = S (w) exp [jjs (w)], то K (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).
Покажем, что найденное выражение для комплексного коэффициента передачи является оптимальным в смысле максимума отношения с/п = |y (t0) |/sn вых. Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции, т.е. можно отдельно рассматривать прохождение сигнала и шума:
|y (t0) | = | (2p) -1/2
S (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw|,а snвых = [ (2p) -1/2
Wn (w) K2 (w) dw] 1/2.Подставим полученные выражения в отношение сигнал/помеха:
|y (t0) |/sn вых =
= | (2p) -1/2
S (jw) K (jw) exp (-jwt0) dw|/ [ (2p) -1/2 Wn (w) K2 (w) dw] 1/2.В математике существует неравенство Шварца:
|
F1 (x) F2 (x) dx|2£ [ |F1 (x) |2dx] [ |F2 (x) |2dx],где F1 (x) и F2 (x) - некоторые комплексные функции. Применим это неравенство для нашего случая. Тогда отношение сигнал/помеха с/п £ 1/
[ (2p) -1 S2 (w) dw] 1/2. Так как Эs= (2p) -1 S2 (w) dw, то с/п £ 1/ 
. При этом значении с/п K (jw) = Kопт (jw). Это неравенство превращается в равенство при условии, что F2 (x) = F1 (x). Применим это условие к K (jw), получим Kопт (jw) exp (jwt0) = AS (jw), тогда Kопт (jw) = AS (jw) exp (-jwt0).