Случайные величины в статистической радиотехнике (стр. 3 из 3)
Кроме рассмотренных моментов, используют иногда абсолютные моменты (начальные и центральные):
; 
. Из них чаще всего применяют первый абсолютный центральный момент 
, называемый средним арифметическим отклонением. Его используют наряду со среднеквадратическим отклонением для характеристики рассеивания СВ, для которых не существует дисперсии.Кроме таких характеристик, используются понятия мода и медиана плотности вероятности. Модой (М) называют наиболее вероятное значение, соответствующее максимуму плотности вероятности (если таких максимумов несколько, то распределение называют полимодальным). Медиана (Ме) – это такое значение СВ X, для которого P(X < Me) = P(X > Me). В случае симметричного одномодального (унимодального) распределения медиана совпадает с МО и модой.
Распределение Лапласа (двухсторонний экспоненциальный):
,где m – МО; l – характеризует степень разбросанности X относительно m.
2. Биномиальное распределение (Бернулли):
.Например, это распределение используется для определения вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги по пачке импульсов при заданных вероятностях обнаружения и вероятности ложной тревоги одного импульса в пачке.
3. Закон равномерной плотности вероятности.
Пример. Погрешность измерения напряжения с помощью вольтметра с дискретной шкалой (±(a – b)/2 – половина деления). МО есть (a + b)/2; дисперсия – (a – b)2/12; среднеквадратическое отклонение (a – b)/(2
).4. Нормальный (Гаусса) закон. Самый распространенный в природе:
.Центральные моменты:
; 
; 
; 
и т.д. Следовательно, Sk =0; Ex = 0. Для нормального закона при нахождении вероятности попадания случайной точки на заданный участок оси x имеются таблицы так называемого интеграла вероятностей; их несколько для различных выражений, например: 
(для m = 0 и s = 1). При определении вероятности попадания на участок от а до b получим 
. Интерес для практики представляет определение вероятности попадания в интервал, заданный в единицах среднеквадратического отклонения, например, ±3s. Так, например, эта вероятность есть 0,997. Отсюда следует так называемое «правило 3s». Для нормальных СВ это правило позволяет на практике приближенно вычислять s. Например, при определении динамического диапазона магнитофона с помощью осциллографа при отсутствии вольтметра.Все остальные законы плотности вероятности непрерывных СВ образованы преобразованием равномерного или нормального законов, например:
– закон Симпсона (треугольный). Дисперсия
. Свертка двух равномерных законов соответствует плотности вероятности суммы двух независимых равномерно распределенных случайных величин;– закон Рэлея (корень квадратный из суммы квадратов двух СВ, распределенных по нормальному закону)
.Распределение модуля комплексной случайной величины при нормальных распределениях действительной и мнимой составляющих подчиняется этому закону (распределение огибающей узкополосного случайного процесса).
Гистограмма. По оси абсцисс откладываются разряды (интервалы шириной l), и на каждом из них как на основании строится прямоугольник, площадь которого равна частоте для данного разряда (оценке вероятности попадания значений в данный разряд – отношение числа попаданий в разряд к общему числу испытаний). Для построения гистограммы нужно частоту для каждого разряда разделить на его длину и полученное число взять в качестве высоты прямоугольника. Очевидно, что площадь всех прямоугольников равна
При увеличении числа измерений N ширину lинтервалов можно уменьшать (увеличивать их число m). По мере увеличения N и уменьшения l гистограмма будет приближаться к графику плотности вероятности величины X. То есть гистограмма является «портретом» плотности вероятности. Для получения «хорошего портрета» необходимо при заданном N рационально выбрать число интервалов. При малом числе интервалов плотность вероятности будет описываться слишком грубо, по мере увеличения числа интервалов будет выявляться тонкая структура плотности вероятности. Но при слишком большом числе интервалов «портрет» снова существенно исказится: появятся неравномерности, не закономерные для исследуемой плотности вероятности (в интервалы попадет мало результатов измерений, и элемент случайности приведет к искажениям).
Числовые характеристики распределения. Среднее арифметическое наблюдаемых значений:
.При увеличении N статистическое среднее стремится к МО. Аналогично оценивается дисперсия – это среднее арифметическое квадрата центрированной СВ, т.е.
, где 
.Таким же образом определяются другие статистические характеристики, например: определение плотности вероятности по гистограмме.
Задача эта в значительной мере неопределенная, так как сложно подобрать плотность вероятности, отвечающую модели СВ, т.е. исходя из какого критерия можно гистограмму заменить подходящей плотностью вероятности. Более строго, но со значительными допущениями решается эта проблема с помощью критериев согласия, а сейчас воспользуемся более простыми соображениями: сначала производим анализ вида гистограммы, сравнивая ее с известными законами распределения, а затем, подбирая параметры этого закона, будем добиваться наибольшего визуального сходства сглаженной гистограммы с кривой подобранной плотности вероятности. Например, если график сглаженной гистограммы по виду близок к нормальному закону, то рассчитанные по результатам измерений оценки МО и
можно использовать для построения нормальной плотности вероятности и считать ее соответствующей анализируемой выборке СВ.теория вероятности теорема дисперсия
Библиографический список
1. Математические основы современной радиоэлектроники [Текст] / И.А. Большаков [и др.]. – М. : Сов. радио, 2009. – 208 с.
2. Гоноровский, И.С. Радиотехнические цепи и сигналы [Текст] / И.С. Го-норовский. – М. : Радио и связь, 2006. – 608 с.
1. Манжос, В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информа-ции на фоне помех [Текст] / Я.Д. Ширман, В.Н. Манжос. – М. : Радио и связь, 2011. – 416 с.
2. Фомичев, К.И. Моноимпульсная радиолокация [Текст] / А.И. Леонов, К.И. Фомичев. – М. : Сов. радио, 2010. – 370 с.
3. Федосов, В.П. Статистическая радиотехника [Текст] : конспект лекций / В.П. Федосов, В.П. Рыжов. – Таганрог : Изд-во ТРТИ, 2008. – 76 с.