Случайные величины в статистической радиотехнике (стр. 1 из 3)
Содержание
1. Основные понятия теории вероятности
2. Случайная величина
3. Основные теоремы теории вероятности
4. Случайные величины и их законы распределения
Библиографический список
1. Основные понятия теории вероятности
Полная группа событий: несколько событий образуют полную группу, если в результате опыта непременно должно появиться хотя бы одно из них.
Несовместные события: несколько событий являются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.
Равновозможные события: несколько событий называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является предпочтительным по сравнению с другими.
Частота события: если производится серия из N опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие А, то частотойсобытияА в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов.
Частоту события часто называют статистической вероятностью и вычисляют на основании результатов опыта по формуле
, где m – число появлений события А.При небольшом числе опытов N частота может меняться от одной серии опытов к другой из-за случайности событий. Однако при большом числе опытов она носит устойчивый характер и стремится к значению, которое называется вероятностьюсобытия.
2. Случайная величина
Случайной величиной (СВ) называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Примеры: число попаданий в мишень при ограниченном числе выстрелов; число вызовов по телефону в единицу времени; количество некондиционных транзисторов в партии выпускаемых изделий и т.д.
Случайные величины, принимающие только отдельные значения, которые можно пересчитать, называются дискретными случайными величинами.
Существуют СВ другого типа: значения шумового давления, измеренного в различные моменты времени; вес булки хлеба, продаваемого в магазине и т.д. Называют их непрерывными случайными величинами.
3. Основные теоремы теории вероятности
Сумма и произведение событий. Суммой двух событий А и Б называется событие С, состоящее в выполнении события А, или события Б, или обоих вместе.
Например, если событие А – попадание в мишень при первом выстреле, событие Б – попадание в мишень при втором выстреле, то событие С = А + Б есть попадание в мишень вообще безразлично при каком выстреле – при первом, при втором или при обоих вместе.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событийА и Б называется событие С, состоящее в совместном выполнении события А и события Б.
Если производится два выстрела по мишени и если событие А есть попадание при первом выстреле, а событие Б – попадание при втором выстреле, то С = А∙Б есть попадание при обоих выстрелах.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
2.Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
.Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые для наглядности представлены на рис. 1 в виде N символов.
Рис. 1
Предположим, что из этих случаев m благоприятны событию А, а k – событию Б. Тогда
.Так как события А и Б несовместны, то нет случаев, которые благоприятны событиям А и Б вместе. Следовательно, событию А + Б благоприятны m + k случаев и
.Подставляя полученные выражения в формулу для вероятности суммы двух событий, получим тождество.
Следствие Если события А1, А2, …, АN образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.
3.Теорема умножения вероятностей. Необходимо ввести понятия независимых и зависимых событий.
Событие А называется независимым от события Б, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие Б или нет.
Событие А называется зависимым от события Б, если вероятность события А меняется от того, произошло событие Б или нет.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью событияА и обозначается P(А/В).
Теорема умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:
.Пусть возможные исходы опыта сводятся к N случаям, которые для наглядности даны в виде символов на рис. 2.
Рис. 2
Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию Б – k случаев. Так как не предполагались события А и Б совместными, то существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию Б одновременно. Пусть число таких случаев l. Тогда P(АБ) = l/N; P(A) = m/N. Вычислим P(Б/А), т.е. условную вероятность события Б в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из произошедших N случаев остаются возможными только те из m, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию Б. Следовательно, P(Б/А) = l/m. Подставляя выражения P(АБ), P(A) и P(Б/А) в формулу вероятности произведения двух событий, получим тождество.
Следствие Если событие А не зависит от события Б, то и событие Б не зависит от события А.
Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению этих событий.
4.Формула полной вероятности. Формула полной вероятности является следствием обеих теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий H1, H2,…, HN, образующих полную группу несовместных событий. Будем эти события называть гипотезами. Тогда
,т.е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Эта формула носит название формулы полной вероятности.
Так как гипотезы H1, H2,…, HN образуют полную группу событий, то событие А может появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез: А = H1А + H2А + …+ HNА. Так как гипотезы H1, H2,…, HN несовместны, то и комбинации H1А,H2А, … HNА также несовместны. Применяя к ним теорему сложения, получим:
.Применяя к событию HiА теорему сложения, получим искомую формулу.
5.Теорема гипотез (формула Байеса). Имеется полная группа несовместных гипотез H1, H2,…, HN. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно P(H1), P(H2), …, P(HN). Произведем опыт, в результате которого будет наблюдаться появление некоторого события А. Спрашивается, как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением этого события?
Здесь, по существу, идет речь о том, как найти условную вероятность
для каждой гипотезы после проведения эксперимента.Из теоремы умножения имеем:
, (i = 1, 2, …, N).Или, отбрасывая левую часть, получим
, (i = 1, 2, …, N),откуда
, (i = 1, 2, …, N).Выражая P(А) с помощью формулы полной вероятности, имеем:
, (i = 1, 2, …, N).Эта формула и носит название формулы Байеса или теоремы гипотез. Используется она в теории проверки статистических гипотез (в частности, в теории обнаружения сигналов на фоне помех).
4. Случайные величины и их законы распределения
Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.