Устойчивость линейной системы авторегулирования (стр. 4 из 5)

Оптимальное значение коэффициента передачи:

, (13)

где r - отношение спектральных плотностей случайных процессовn(t) и x_в(t).

Рис. 12

Дисперсия ошибки слежения в оптимальной системе:

.(14)

Рассмотрим ошибки в системе, отличающейся от оптимальной. Отличие системы от оптимальной может заключаться как в отличии коэффициента К от оптимального при оптимальной структуре системы, так и в неоптимальности самой структуры.

Отличие коэффициента передачи К от оптимального приведет к увеличению ошибки. Ошибка складывается из динамической ошибки и ошибки по возмущению. Дисперсия динамической ошибки

Спектральная плотность задающего воздействия

Дисперсия задающего воздействия

Выразим спектральную плотность S_n₀ процесса n(t) через дисперсию задающего воздействия: S_n₀ = 2T_фs²_x_з.

Частотная характеристика разомкнутой системы для схемы, изображенной на рис. 32, имеет вид:

И соответственно,

Тогда

. (15)

Рис. 13

Для пояснения причины уменьшения динамической ошибки с ростом коэффициента передачи К обратимся к рис. 13, на котором представлены энергетический спектр процесса x_з(t) (пунктирная линия) и АЧХ замкнутой системы при различных значениях КТ_ф (сплошные линии). Видим, что чем больше КТ_ф, тем меньше отличие коэффициента передачи замкнутой системы от 1 в области частот, занятых спектром задающего воздействия.

Дисперсия ошибки по возмущению вычисляется по формуле:

Так как спектральная плотность возмущающего воздействия в r раз меньше спектральной плотности S_n₀, то

. (16)

Дисперсия ошибки по возмущению увеличивается с ростом КТ_ф, так как увеличивается площадь под АЧХ замкнутой системы. Зависимость дисперсии суммарной ошибки s² = s²_дин + s²_воз от КТ_ф показана на рис. 14 для различных значений r. Минимум достигается при оптимальном значении коэффициента передачи. Следует отметить, что оптимум не очень критичен и при двукратном отличии коэффициента передачи от оптимального дисперсия ошибки увеличивается на 15 – 20 %.

Рис.

Рассмотрим теперь, к какому увеличению дисперсии приведет отличие структуры системы от оптимальной. Допустим, что система первого порядка (рис. 32) осуществляет слежение за процессом x_з(t), образованным из белого шума формирующим фильтром второго порядка с пере-даточной функцией К_ф(р) = =1/(1 + рТ_ф1)². Подберем Т_ф1 так, чтобы площади под |К_ф(jw)½² для однозвенного и двухзвенного фильтров были одинаковыми. Тогда будет соблюдаться равенство дисперсий выходных процессов обоих фильтров при одинаковой спектральной плотности входного белого шума. Это условие выполняется при Т_ф1 = Т_ф/2. На рис. 15 представлены АЧХ фильтров: однозвенного (сплошная линия) и двухзвенного (пунктирная линия). Из-за отличия спектров задающего воздействия изменится динамическая ошибка. Дисперсия динамической ошибки станет равной:

Дисперсия ошибки по возмущению останется прежней, так как частотная характеристика замкнутой системы не изменилась. На рис. 36 показано, во сколько раз увеличивается минимальная дисперсия суммарной ошибки в системе с неоптимальной структурой по сравнению с дисперсией ошибки в оптимальной системе в зависимости от r.