Линейные преобразования случайных сигналов (стр. 2 из 4)
Нетрудно рассчитать интервал корреляции выходного СП
= 
.Откуда следует, что интервал корреляции выходного СП равен постоянной времени цепи.
Рис. 5
ПРИМЕР 2 анализа прохождения белого шума через колебательный контур (рис. 6). Чтобы придать этой задаче физический смысл, сводим задачу, как и предыдущую, к аппроксимации входного сигнала белым шумом.
Рис. 6
Чтобы использовать такой прием, входной сигнал должен иметь спектральную плотность мощности, неизменную в пределах практически значимых значений ординат АЧХ цепи. Тогда Gx(
) можно считать равной G0, а входной СП – белым шумом (рис. 7).Передаточная функция такой цепи K(j
)=Kр/[1+j2( - р)/( рQэ)]; 0 < < ¥, где Kр- коэффициент передачи цепи при резонансной частоте р, то есть Kр = Rэр/(Rэр + R); Qэ = Q/(1 + Rэр/R) - добротность шунтированного нагрузкой R колебательного контура, его постоянная времени 
к = 2Qэ/ р = 2/(D )0,7, то есть обратная половине полосы пропускания контура на уровне 0,707. Квадрат модуля передаточной функции K2( ) =Kр2/[1 + ( - р)2 к2]. Найдем дисперсию процесса на выходе цепи 
y2 = G0Kр2/(p к) (p/2 + arctg2Qэ) »G0Kр2/(2 к) при Qэ >> 1.
Рис. 7
Оценим энергетическую полосу пропускания колебательного контура (рис. 6) D
э = (G0Kр2)-1 
Gy( )d »p/ к. Сравним с полосой пропускания по уровню 0,707 (-3 дБ). Так как к = 2Qэ/ р, то D э = p/2 (D )0,7.Вычислим корреляционную функцию выходного процесса (рис. 8):
By(
) = G0Kр2/(2 к) exp(-| |/ к) cos р ; -¥ < < ¥. 
Рис. 8
Если рассматривать анализ контуров с разными добротностями, то можно увидеть различия в реализациях выходных процессов: рис. 9 при добротности Q1 и рис. 10 при добротности Q2.
Рис. 9
Сравнительный анализ показывает, что увеличение добротности приводит к снижению полосы пропускания контура, а значит, к снижению средней скорости изменения огибающей во времени (можно сравнить с влиянием на огибающую АМК снижения частоты модулирующего колебания).белый шум сигнал линейный преобразование
1. Расчет плотности вероятности стационарного случайного сигнала на выходе линейной цепи
Если для многих электрических цепей в установившемся режиме просто рассчитать энергетический спектр и корреляционную функцию, то задача расчета плотности вероятности в произвольном случае не имеет общего решения. Расчет плотности вероятности на выходе такой цепи является сложной задачей, не имеющей аналитического решения. Трудности анализа обусловлены тем, что мгновенные значения сигнала на выходе линейной цепи зависят не только от мгновенных значений входного сигнала в данный момент времени, но и от значений сигнала в предыдущие моменты (поскольку цепь обладает инерционностью, вызванной наличием катушек индуктивности и конденсаторов в цепи). Однако имеет место единственный случай, когда законы плотности вероятности на входе и выходе цепи совпадают. Это случай, когда входной сигнал имеет нормальный закон распределения. Основным свойством нормального закона является то, что при прохождении сигнала с нормальной плотностью вероятности сам вид закона не изменяется, а меняются лишь его параметры, то есть математическое ожидание, дисперсия, корреляционная функция. Здесь можно выявить аналогию с гармоническим колебанием в линейной цепи.
Прохождение нормального стационарного СП через линейную электрическую цепь.Задан входной СП X(t), у которого плотность вероятности в каждый момент времени f(x) = (
x2 
)-1 exp [-x2/(2 x2)], -¥<x<¥, математическое ожидание считаем равным нулю. Поэтому средний квадрат такого СП равен дисперсии. Корреляционная функция Bx( ) и, следовательно, Gx( ) известны. Вычислить плотность вероятности сигнала на выходе цепи, заданной или импульсной характеристикой h(t), или передаточной функцией K(j ). Учитывая, что при прохождении случайного сигнала через линейную цепь нормальный закон распределения не изменяется, можно записать: f(y) = ( y2 )-1 exp [-y2/(2 y2)], т.е. сама форма закона известна. Необходимо определить дисперсию y2, а она связана с мощностью процесса: By(0) = sy2 = (2p)-1 
Gy( )d . Чтобы найти либо By( ), либо Gy( ), требуется знать Bx( ) или Gx( ).