Метод кусочного размножения оценок при обработке реализаций сигналов ограниченного объема (стр. 2 из 7)

Согласно выражению (4) исходная выборка представляет собой последовательность отсчетов

. Для получения оценки полезной составляющей разбиваем исходную реализацию на перекрывающихся интервалов, как показано на рис. 1. Длина каждого интервала фиксирована и равна априорно заданной величине . Разбиение формируется таким образом, что отсчетов предыдущего интервала содержится в последующем интервале. Данный способ разбиения позволяет сохранить корреляционные связи между отсчетами при последующем получении оценок полезного сигнала. Исходная последовательность с учетом предлагаемого разбиения перепишется в следующем виде , где [9].

Исходный ряд

, можно представить в виде матрицы размера :

. (5)

На каждом скользящем интервале производится оценка полезной составляющей (рис. 1). Как показано на рис. 1, полученные оценки группируются (группы оценок обведены овалами). Результирующая оценка получается путем усреднения множества оценок полезного сигнала, полученных в результате аппроксимации. На основе анализа предлагаемого разбиения исходной реализации выделим три участка:

, , .

Рис. 1. Пример разбиения исходной реализации сигнала на перекрывающиеся интервалы постоянной длины

Выделение трех участков связано с тем, что в начале и конце реализации оценивание происходит по группам оценок различного объема. На первом интервале исходной выборки

, количество оценок полезной составляющей в каждый момент времени пропорционально номеру отсчета , на втором интервале – количество оценок равно ширине скользящего интервала и составляет значение, а на последнем интервале оценивания , с ростом номера отсчета количество оценок в каждом сечении уменьшается от до 1 (рис. 1).

Оценка исходного ряда (5) представляет собой также матрицу такого же размера

:

. (6)

Матрица (6) получается в результате оценивания полезной составляющей по значениям

, , каждой строчки матрицы (5). Для перехода от матричного представления оценки обратно к одномерной реализации необходимо усреднить ее значения по столбцам. Результирующая оценка полезной составляющей запишется в следующем виде:

(7)

Значения оценок, составляющие матрицу (6), получены путем аппроксимации исходной реализации

, для каждого методом наименьших квадратов. Таким образом, соответствует номеру строки матрицы оценок (6). В работе [9] приведены результаты исследования для случая, когда на каждом интервале производится аппроксимация функциями пространства (2), при этом оно ограничено условием . Полученные результаты являются частными и не позволяют исследовать зависимость погрешности оценивания от параметров метода обработки. Для проведения таких исследований необходимо получить общее решение задачи аппроксимации на каждом скользящем участке для аппроксимирующего полинома произвольной степени . Использование ранее предложенного подхода имеет следующие недостатки [5]:

- минимизация целевой функции метода наименьших квадратов при произвольной степени

аппроксимирующего полинома сводится к решению системы уравнения, что приводит к значительным вычислительным затратам при больших ;

- в случае, если необходимо увеличить или уменьшить степень аппроксимирующего полинома, производится полный пересчет всех ранее полученных коэффициентов и оценок.

Использование системы ортогональных многочленов позволяет устранить эти недостатки.

Исходная дискретная последовательность

определена в узле. Введем систему ортогональных многочленов Лежандра, где последовательно возрастающих степеней, обладающие свойством [5]:

,

где

– некоторая весовая функция. Будем рассматривать случай, когда .

Таким образом, имея систему ортогональных многочленов, можно построить многочлен наилучшего приближения в смысле минимума квадратичной целевой функции. В общем случае аппроксимирующую полиномиальную функцию можно представить в виде [5]:

. (8)

Отметим, что полином (8) также принадлежит к пространству (2).

В соответствии с общей теорией ортогональных многочленов коэффициенты

определяются выражением [5]:

, (9)

где

– норма ортогональных многочленов.

В соответствии с предлагаемым методом разбиения оценки коэффициентов

полинома (8) на каждом скользящем интервале различны, тогда выражение (9) перепишется в следующем виде:

,

где

, – длина интервала разбиения.

Анализ выражения для

показывает, что коэффициенты зависят не только от степени полинома, но и от номера интервала . В соответствии с выражением (7) результирующая оценка полезного сигнала через системы ортогональных многочленов запишется в следующем виде:

кусочное размножение оценка сигнал