Метод статистической стабилизации частот независимо функционирующих генераторов (стр. 3 из 7)

Для выполнения дальнейших преобразований будем считать, что на интервале измерений величина отклонения частоты от номинального значения является постоянной. Данное предположение является справедливым в подавляющем большинстве практических случаев устройств и систем телекоммуникаций. При этом данное условие позволяет отказаться от использования алгоритмов фильтрации и перейти к более простым алгоритмам оценки. Возникающая в связи с этим допущением методическая ошибка будет оценена ниже.

Перепишем с учетом сделанного допущения выражения из системы (10) в виде:

.(11)

Как отмечалось ранее, случайные величины

являются независимыми и имеют известные параметры распределения (математическое ожидание, медиана или дисперсия). В силу этого плотность распределения (1) случайных величин для каждого момента времени может быть записана в виде (3).

С учетом этого можно отметить, что случайные величины

являются независимыми и удовлетворяют нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным нулю:

.(12)

Запишем формулу для плотности нормального закона распределения величины

:

,(13)

где

– относительная нестабильность k-го генератора .

Величины отклонений частот

связаны с нестабильностью временного интервала соотношением (8), что позволяет использовать для оценки нестабильности временного интервала метод наибольшего правдоподобия. В соответствии с данным методом составим функцию наибольшего правдоподобия относительно неизвестного значения отклонения длительности временного интервала :

. (14)

После подставки выражения (8) в (14) и получим следующее выражение относительно переменной

:

.(15)

После логарифмирования данной функции получаем:

,(16)

или с учетом свойства логарифмической функции

. (17)

В соответствии с методом наибольшего правдоподобия продифференцируем данную функцию, что позволит получить равенство:

. (18)

В качестве оценки нестабильности временного интервала

берется такое значение параметра , при котором производная (17) обращается в нуль. Приравняем данное выражение к нулю, что позволяет получить:

. (19)

Выразим из данного выражения оценку отклонения длительности временного интервала измерений от номинального значения

:

. (20)

Полученное значение

определяет стационарную точку функции (17). Для того чтобы доказать наличие экстремума, с помощью равенства (18) вычислим вторую производную и оценим выполнение второго достаточного условия локального экстремума:

.

Исходя из того, что вторая производная функции правдоподобия меньше нуля, функция правдоподобия при значении

, определяемом (20), действительно достигает максимума.

Соотношение (19) является необходимым условием локального экстремума функции правдоподобия. В то же время исходя из того, что функция (19) относительно аргумента

является квадратичной, можно утверждать, что данный экстремум будет глобальным.

Найденная оценка нестабильности временного интервала

позволяет вычислить составляющую для каждого генератора и разделить две составляющие и , определяющие соответственно вклад собственной нестабильности k-го генератора и нестабильности временного интервала измерений в измеренное значение .

Для этого значение

подставим в формулу (11) и найдем оценки нестабильности частот каждого из совокупности генераторов, получаемые на основе измеренных значений и полученной с использованием выражения (20) оценки нестабильности временного интервала.

Найденные значения позволяют определить отклонения частот генераторов в виде:

.(21)

Полученные оценки позволяют по измеренным значениям числа импульсов или фаз колебаний каждого из совокупности

генераторов и их номинальным значениям определить, на какую величину отличается частота каждого генератора от своего номинального значения. Это дает возможность по результатам измерений и последующей обработки формировать управляющие сигналы для уменьшения отклонения частоты каждого из совокупности генераторов от номинальных значений.

Для анализа статистических характеристик оценок отклонения частот генераторов рассмотрим вначале свойства получаемой оценки

нестабильности временного интервала. В силу того, что значение может принимать как отрицательные, так и положительные значения, представим выражение для среднего значения оценки нестабильности временного интервала в следующей форме:

.(22)

Так как величины

являются детерминированными, усредняются только случайные величины , математические ожидания которых по предположению равны нулю. В соответствии с этим, с учетом свойств математического ожидания получаем:

.(23)

При записи данного равенства было учтено свойство, что

.

С учетом ранее сделанных предположений об отклонениях частот генераторов

получаем, что средние отклонения фаз колебаний генераторов от номинальных значений равны нулю. Таким образом, получаемая оценка является несмещенной.

Исходя из того, что первый начальный момент случайной величины

равен нулю, запишем выражение для второго центрального момента (дисперсии):