Метод статистической стабилизации частот независимо функционирующих генераторов (стр. 4 из 7)

.

Выполняя несложные, но громоздкие преобразования, получаем:

.(24)

С учетом того, что отклонения

и каждого из

генераторов являются некоррелированными, получаем:

.(25)

Выражение (25) позволяет записать следующее равенство:

.

С учетом этого представление для дисперсии

имеет вид

.(26)

Преобразуем данное выражение при условии, что:

.

Следовательно, окончательное выражение для дисперсии оценки временного интервала имеет вид

.(27)

Рассмотрим частный случай, при котором все генераторы работают на различных частотах

и имеют одинаковые относительные нестабильности . Исследуем характеристики распределения отклонений частот генераторов от номинальных значений для данного случая.

Исходя из того, что первый начальный момент случайной величины

равен нулю, на основании соотношения (27) запишем выражение для второго центрального момента (дисперсии):

.(28)

.(29)

Таким образом, увеличение числа генераторов приводит к уменьшению дисперсии оценки нестабильности временного интервала.

Рассмотрим еще один частный случай, когда совокупность генераторов имеет не только одинаковые относительные нестабильности

, но и работает на одинаковых частотах

. В этом случае дисперсия оценки отклонения длительности временного интервала от номинального значения на основе (29) принимает вид

стабилизация частота генератор

.(30)

Таким образом, использование совокупности K идентичных генераторов с одинаковыми относительными нестабильностями позволяет уменьшить в K раз дисперсию оценки отклонения длительности временного интервала от номинального значения. Данный результат имеет хорошо известную аналогию в теории измерений.

Анализ рассмотренных случаев показывает, что наиболее высокая стабильность обеспечивается при идентичных значениях частот и относительных нестабильностей (30) в системе генераторов, которая составляет величину, равную

.

Полученные соотношения позволяют определить статистические характеристики оценок отклонений частот генераторов от номинальных значений.

Воспользуемся соотношением (21), на основании которого представим выражение

. (31)

С учетом свойств математического ожидания [8–15] преобразуем зависимость (30) следующим образом

. (32)

Учитывая некоррелированность отклонений частот и отклонений фаз от номинальных значений в различных генераторах, получим следующую зависимость

, (33)

Используем соотношение

, которое легко преобразуется к виду . С учетом последней формулы и ранее сделанных предположений о статистических характеристиках отклонений частот генераторов от номинальных значений в различных генераторах зависимость (32) принимает вид

, . (34)

Дисперсии получаемых оценок определяются зависимостью

, .(35)

В частном случае системы генераторов, имеющих одинаковые нестабильности, получаем

.(36)

Таким образом, соотношения (23), (24) и (34), (36) определяют статистические характеристики оценок отклонения длительности временного интервала измерений и частот генераторов от номинальных значений.

В силу того, что полученное значение оценки отклонения длительности временного интервала от номинального значения отличается от истинного значения, использование управляющего воздействия не приводит к полной компенсации отклонения частоты k-го генератора от номинального значения.

Некомпенсированное отклонение частоты k-го генератора

определяется как:

, (37)

или с учетом полученной оценки

:

. (38)

В силу того, что измеренное отклонение числа импульсов k-го генератора обусловлено как собственной нестабильностью

, так и нестабильностью генератора, задающего временной интервал измерений , запишем данное выражение в следующем виде:

.

Раскроем величины

и , что позволит получить равенство:

.(39)

После несложных преобразований окончательно запишем:

. (40)

Исследуем статистические характеристики нескомпенсированного отклонения частоты k-го генератора (математическое ожидание и дисперсию).

Перепишем выражение (40), раскрыв значение оценки отклонения частоты k-го генератора с использованием соотношения (21):

.(41)

Запишем выражение для нахождения математического ожидания некомпенсированного значения отклонения частоты k-го генератора:

, (42)

где учтено, что

и, следовательно,

.

Запишем выражение для нахождения дисперсии нескомпенсированного значения отклонения частоты k-го генератора в виде:

.(43)

После выполнения преобразований получаем

. (44)

Соотношение (44) получено с использованием выражения

.

Такое значение (44) дисперсия нескомпенсированного отклонения частоты k-го генератора принимает лишь в том случае, когда относительные нестабильности

и частоты

идентичны.

Таким образом, из выражения (44) следует, что дисперсия нескомпенсированного значения частоты k-го генератора в

раз меньше дисперсии отклонения частоты k-го генератора при идентичных параметрах используемых генераторов.