Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех (стр. 3 из 9)
Это выражением может быть записано в векторной форме
.Если
распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем 
пространства выборок равна 
,где
– расстояние от начала системы координат до элемента 
.В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.
Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то
– линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то 
– показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.
3. Вероятностные характеристики случайных процессов
1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.
Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.
Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:
. (1)Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.
.В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.
Рис. 6
Так же как и для случайных величин,
(положительная определенность), 
при x2 > x1 (интегральная функция является неубывающей), 
(ограниченность).
Рис. 7
Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.
Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:
.Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:
. (2)Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений
можно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.
Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).
Рис. 8
Свойства плотности вероятности:
– положительная определенность –
;– свойство симметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;
– свойство нормировки
;– свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n – m)
– плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним» аргументам;
– размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.
Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.
1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):
Рис. 9
,где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение (СКО).
Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:
.2. Равномерное распределение (рис. 10):
Рис. 10
Экспоненциальное распределение (рис. 11):
Рис. 11
4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):
Рис. 12
2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.
Начальные одномерные моменты определяются в виде
. (3)Особое значение имеют первый начальный момент – математическое ожидание
и второй начальный момент 
.сигнал случайный помеха прием
Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.
В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.
Рис. 13
Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса
: 
. (4)Поэтому всегда
.Второй центральный момент – дисперсия СП – определяется в виде
и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:
, в частности 
.