Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех (стр. 5 из 9)
– абсолютный интервал корреляции
(в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций 
) (рис. 17б);– квадратичный интервал корреляции
;– максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)
.
Рис. 17
Рис. 18
Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.
Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.
Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида
.При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида
, так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:
.В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T
.Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.
Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации
.Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя
и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим: 
.Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел
, получим 
.Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея
,определим
; 
; 
; 
; 
.Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.
Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):
(9)Полагая t = 0, получим
.Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем
, 
.В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:
.Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:
(10)Часто используется нормированная спектральная плотность мощности
.Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).
Рис. 19 Рис. 20
Тогда
.Для одиночного колебательного контура
, где Q – добротность контура, следовательно
.Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.
Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.
Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.
Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра
.Определяют также ширину спектра на уровне a:
.Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.
Так как
, а 
, то 
. (11)Таким образом, произведение
– порядка единицы.Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).
а б
Рис. 22
Для узкополосных процессов
. Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром
. Его корреляционная функция равна 
.Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром
,где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t,
.Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой
и фазой 
, распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при 
и при 
. Тогда 
зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.В этом случае
; 
. (рис. 23) 
Рис. 23
Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности
; 
; 
; 
; 
.Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция:
.