Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех (стр. 8 из 9)

Рис. 28

На рис. 28 штриховой линией показано изменение математического ожидания процесса.

8. Классификация случайных процессов

Классификация в любой науке служит для упорядочения объектов исследования, а значит, и используемых методов анализа и синтеза. В ряде случаев удачная, логически оправданная и естественная классификация процесса помогает вскрыть новые закономерности (например, периодическая система Менделеева, классификация звезд на основе диаграммы Герцшпрунга – Рассела в астрономии и т.д.).

Классификация производится по каким-либо признакам. Наиболее существенными признаками для СП являются зависимости их вероятностных характеристик от времени и номера реализации.

Обозначим через q(l) произвольную вероятностную характеристику;

– оператор усреднения по множеству;

– оператор усреднения по времени.

Если одновременно используется усреднение и по множеству, и по времени, то получаемая при этом оценка вероятностной характеристики

(l) имеет такой вид:

,

где l – аргумент вероятностной характеристики (частота

в спектральной плотности мощности; интервал в корреляционной функции).

Истинное значение оценки вероятностной характеристики получается с помощью предельного перехода при неограниченном возрастании числа реализаций N и их длительностей T, т.е.

.

Характеристику, полученную усреднением и по множеству, и по времени, будем называть средней вероятностной характеристикой. Если же усреднение производится только по множеству, то получается t – текущая вероятностная характеристика:

;

только по времени – k-текущая вероятностная характеристика:

.

В зависимости от видов получаемых характеристик СП можно классифицировать таким образом:

–

(k, l) = (l) – однородный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от номера реализации;

–

(t, l) = (l) – стационарный процесс, т.е. получаемая характеристика не зависит от начала отсчета времени;

–

(t, l) = (k, l) = (l) – эргодический случайный процесс.

Схематично процессы могут быть представлены в виде множеств, изображенных на рис. 29.

Рис. 29

Приведенная укрупненная классификация, конечно, не является исчерпывающей, поэтому используется классификация по многим другим признакам.

По виду областей существования и значений случайной функции СП делятся на непрерывные (непрерывные области существования и значений – рис. 30а), дискретные (непрерывное множество значений аргумента и дискретное множество значений – рис. 30б), непрерывные случайные последовательности (дискретная область существования и непрерывная область значений – рис. 30в) и дискретные случайные последовательности (дискретная функция дискретного аргумента – рис. 30г).

По виду распределений вероятностей различают процессы с конечной и бесконечной областями значений, с симметричной и несимметричной плотностью вероятности, гауссовы (нормальные) и негауссовы.

Рис. 30

По корреляционной связи значений различают коррелированные и некоррелированные СП, по виду спектра – широкополосные и узкополосные СП, по характеру временной связи – периодические, непериодические и почти периодические.

По виду нестационарности процессы делятся на аддитивные, мультипликативные, стационарные на интервале (квазистационарные), со стационарными приращениями, периодически нестационарные, с быстрой и медленной нестационарностью и т.д.

Выбор признаков классификации определяется характером решаемой задачи.

Рассмотрим пример классификации СП.

ПРИМЕР 4.

Решение примера 4. Охарактеризовать процесс X(t) в отношении стационарности, однородности и эргодичности, если процесс представлен моделью:

,

где А – случайная амплитуда с рэлеевским распределением;

– случайная величина с равномерным распределением на интервале [–p, p]; 0 = const.

Выборочные реализации процесса X(t) представлены на рис. 31.

Рис. 31

Из рис. 31 и аналитического представления квазидетерминированного процесса X(t) очевидно, что его вероятностные характеристики (например, математическое ожидание, дисперсия, плотность вероятности и т.д.) не зависят от времени, т.е. процесс является стационарным. В то же время каждая из реализаций характеризуется своей дисперсией, поэтому процесс неоднороден и не является эргодическим, т.е. его характеристики нельзя оценить по одной реализации.

ПРИМЕР 5. По заданной графически функции распределения

стационарного случайного колебания (рис. 32) определить плотность вероятности и изобразить возможный вид реализации этого процесса.

Рис. 32

Рассчитать математическое ожидание, второй начальный момент и дисперсию процесса.

Решение примера 5. Плотность вероятности

связана с функцией распределения через производную, поэтому на первом участке u от -6 до -3 В производная, характеризующая тангенс угла наклона к оси u равна 0,4/3 = 0,13 1/В. При u = 1 В имеет скачок на 0,3, поэтому в плотности вероятности есть d-функция с площадью, равной величине скачка. На участке от 3 до 7 В также имеет постоянный наклон, равный 0,3/6 = 0,05 1/В. Полученная плотность вероятности представлена на рис. 3 Для проверки вычислений необходимо найти площадь, ограниченную плотностью вероятности (условие нормировки): .

Рис. 33

Математическое ожидание равно:

mu =

= = –0,325 В.

Второй начальный момент – m2u =

48,9 В2.

Дисперсия –

= 48,5 – 0,105625 » 48,4 В2.

Реализация длительностью Т, судя по виду плотности вероятности на разных интервалах времени, должна иметь горизонтальные участки на уровне +1 В, суммарная длительность которых должна составлять Т/ На участках от -6 до -3 В и от +1 до +7 В в реализации имеются наклонные прямые линии со случайным наклоном, что соответствует неизменным значениям плотности вероятности. На первом участке мгновенные значения реализации находятся 0,4Т, а на втором – 0,3Т.

Возможный вид реализации представлен на рис. 34.

Рис. 34

ПРИМЕР 6. На рис. 35 представлена реализация случайного процесса. Изобразить приближенно плотность вероятности и функцию распределения. Рассчитать (также приближенно) математическое ожидание, среднеквадратическое значение (СКЗ) и среднеквадратическое отклонение (СКО).

Рис. 35

Решение примера 6. Для определения плотности вероятности необходимо в соответствии с ее определением рассчитать вероятности следующих событий:

- соответствия мгновенных значений уровню -10 мА (вероятность р1);

- нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -10 до -4 мА (вероятность р2);

- соответствия мгновенных значений уровню -4 мА (вероятность р3);

- нахождения мгновенных значений реализации в интервале от -4 до + 8 мА (вероятность р4);

- соответствия мгновенных значений уровню + мА В (вероятность р5);

- нахождения мгновенных значений реализации в интервале от +8 до +10 мА (вероятность р6).