Цифровая схемотехника (стр. 4 из 10)

Рисунок 1.13-Таблица истинности (а) и карта Карно (б)

Например, на рисунке 1.13,б объединены ячейки с координатами 001 и 101. При объединении этих ячеек образовался прямоугольник, в котором переменная x1 изменяет свое значение. Следовательно, она исчезнет при склеивании соответствующих элементарных произведений и останутся только х2 и х3, причем переменную х2 берем в инверсном виде, т.к. она равна 0.

Ячейки, расположенные в первой строке (рисунок 1.13,б), содержат единицы и являются соседними. Поэтому все они объединяются в прямоугольник, содержащий 22 = 4 ячейки.

Переменные х2 и х3 в пределах прямоугольника меняют свое значение; следовательно, они исчезнут из результирующего элементарного произведения. Переменная х1 остается неизменной и равной нулю. Таким образом, элементарное произведение, полученное в результате объединения ячеек первой строки рисунка 1.13,6, содержит лишь один х1, который берем в инверсном виде, т.к. он равен 0. Это, в частности, следует из того, что четырем ячейкам первой строки соответствует сумма четырех элементарных произведений:

Функция, соответствующая рисунку 1.6 имеет вид:

Совокупность прямоугольников, покрывающих все единицы, называют покрытием. Заметим, что одна и та же ячейка (например, ячейка с координатами 001) может покрываться два или несколько раз.

Итак, можно сделать следующие выводы:

1. Формула, получающаяся в результате минимизации логической функции с помощью карт Карно, содержит сумму стольких элементарных произведений, сколько прямоугольников имеется в покрытии.

2. Чем больше ячеек в прямоугольнике, тем меньше переменных содержится в соответствующем ему элементарном произведении.

Например, для карты Карно, изображенной на рисунке 1.14,а, прямоугольнику, содержащему четыре ячейки, соответствует элементарное произведение

двух переменных, а квадрату, состоящему всего лишь из одной ячейки,— элементарное произведение , включающее все четыре переменные.

Рисунок 1.14-Карты Карно для функций четырех переменных

Функция, соответствующая покрытию, показанному на рисунке 1.14, а, имеет вид:

Несмотря на то, что карты Карно изображаются на плоскости, соседство квадратов устанавливается на поверхности тора. Верхняя и нижняя границы карты Карно как бы «склеиваются», образуя поверхность цилиндра. При склеивании боковых границ получается тороидальная поверхность. Следуя изложенным рассуждениям, устанавливаем, что ячейки с координатами 1011 и 0011, изображенные на рисунке 1.14, б, являются соседними и объединяются в прямоугольник. Действительно, указанным ячейкам соответствует сумма элементарных произведений

Аналогично объединяются и остальные четыре единичные ячейки. В результате их объединения получаем элементарное произведение

. Окончательно функция, соответствующая покрытию, изображенному на рисунке 1.14, б, имеет вид

Карта Карно, показанная на рисунке 1.7, в, содержит единичные ячейки, расположенные по углам. Все четыре ячейки являются соседними, и после объединения дадут элементарное произведение

.

Рассмотренные выше примеры позволяют сформулировать:

Последовательность проведения минимизации логических функций с помощью карт Карно

1. Изображается таблица для п переменных и производится разметка ее сторон.

2. Ячейки таблицы, соответствующие наборам переменных, обращающих функцию в единицу, заполняются единицами, остальные ячейки — нулями.

3. Выбирается наилучшее покрытие таблицы правильными прямоугольниками, которые обводим контурами. В каждом прямоугольнике должно быть 2n ячеек.

4. Одни и те же ячейки с единицами могут входить в разные контуры.

5. Количество прямоугольников должно быть минимальным, а площадь прямоугольников максимальная.

6. Для каждого прямоугольника записываем произведение только тех переменных, которые не изменяют своего значения. Если эта переменная равна нулю, то ее записывают в инверсном виде.

7. Полученные произведения соединяем знаком логического сложения.

При использовании двоично-десятичных кодов десятичные цифры представляются в них четырьмя двоичными разрядами. Из всех возможных 16 кодовых комбинаций используются лишь 10, а остальные комбинации запрещены и никогда возникнуть не могут. Если какая-нибудь функция имеет запрещенные наборы переменных, то ее значения на указанных наборах не определены и в таблице истинности отмечаются знаком Х.

Двоичные функции, значения которых определены не для всех наборов входных переменных, называются неполностью определенными.

При минимизации неполностью определенной функции ее следует доопределить, т. е. неопределенные значения ячеек карты Карно произвольным образом заменить единицами или нулями. Желательно выбрать тот вариант, при котором формула минимизированной функции будет наиболее простая.

1.6 Синтез комбинационных логических схем

Синтез – это процесс получения функциональной схемы, которая выполняет заданную логическую функцию.

Процесс разработки логических схем предполагает следующую последовательность действий:

1) От таблицы истинности переходим к карте Карно

2) Проводим минимизацию и получаем минимизированное логическое выражение заданной функции (см. 1.5.2)

3) Преобразуем полученное логическое выражение к базису И-НЕ, используя закон инверсии

4) Строим логическую структуру

Рассмотрим пример. Построить логическую структуру, заданную таблицей истинности, показанную на рисунке 1.15 а.

Рисунок 1. 15-Таблица истинности (а) и карта Карно (б)

1) Переходим к карте Карно и обводим прямоугольными контурами соседние клетки с единицами, как показано на рисунке 1. 15 б.

2) Используя контуры, показанные на карте Карно, получаем следующее логическое выражение

.

3) Преобразуем полученное логическое выражение к базису И-НЕ

4) Строим логическую структуру

Рисунок 1.16 - Логическая структура, реализующая функцию, заданную таблицей истинности на рисунке 1.15 а

2 КОМБИНАЦИОННЫЕ СХЕМЫ

2.1 Основные положения

При соединении логических элементов образуются устройства, схемы которых называют логическими. Различают комбинационные и последовтельностные схемы.

Комбинационные схемы реализуют функции, значения которых в данный момент времени определяются лишь совокупностью значений входных переменных в этот же момент времени и не зависят от предыдущих значений входных переменных.

О таких схемах принято говорить, что они не обладают свойством памяти (предыстория не оказывает влияния на результат преобразования). Заметим, что каждый реальный логический элемент обладает некоторым временем задержки изменения выходного сигнала по отношению к входному. К наиболее важным комбинационным схемам относятся следующие устройства:

- дешифраторы,

- шифраторы,

- демультиплексоры,

- мультиплексоры,

- сумматоры.

2.2 Дешифраторы

Дешифратор (декодер) – это устройство, которое преобразует n – разрядный позиционный код в m – разрядный унитарный, т.е. содержащий всего лишь одну единицу или ноль.

Дешифратор имеет n входов и m (m ≤ 2n) выходов. На условных графических обозначениях дешифраторы обозначают как DC (от английского decoder).

На рисунке 2.1 показаны условное графическое обозначение (УГО) и таблица функционирования двухвходового дешифратора (2 : 4).

Входы		Выходы
х1	х0	0	1	2	3
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	0	0
1	0	0	0	1	0
1	1	0	0	0	1

Рисунок 2.1-Условное графическое обозначение и таблица функционирования двухвходового дешифратора (2 : 4).

Из таблицы функционирования двухвходового дешифратора следует, что номер активного выхода, на котором присутствует единица, совпадает с двоичным кодом на входах, если его представить в виде десятичного числа. Например, 012 = 110 , 102 = 210 , 112 = 310 .

Построим схему двухвходового дешифратора, для чего запишем функции каждого выхода, используя таблицу истинности и правило записи СДНФ (см. 1.4): Выход 0 -

, Выход 1 - , Выход 2 - , Выход 3 - . На основании полученных логических выражений получим схему, представленную на рисунке 2.2.